Главная
Невырожденный полупроводник — полупроводник, уровень Ферми в котором расположен в запрещенной зоне на расстоянии большем k T {displaystyle kT} от ее границ ( k {displaystyle k} - постоянная Больцмана, T {displaystyle T} - абсолютная температура), вследствие чего носители заряда в этом полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Больцмана. Если уровень Ферми лежит внутри разрешённых зон (внутри зоны проводимости в случае полупроводника n-типа или валентной зоны в случае p-типа), то такой полупроводник называется вырожденным.
Распределение носителей в зонах
Так как электроны обладают полуцелым спином, они, как известно, подчиняются статистике Ферми-Дирака
f ( E ) = 1 1 + exp E − F k T {displaystyle f(E)={frac {1}{1+exp {frac {E-F}{kT}}}}} ,f ( E ) {displaystyle f(E)} — вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией E {displaystyle E} ; F {displaystyle F} — электрохимический потенциал, или уровень Ферми, который в общем случае зависит от температуры. Уровень Ферми можно также определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.
При T = 0 {displaystyle T=0quad } f ( E ) {displaystyle f(E)} имеет вид разрывной функции:
- для E < F {displaystyle E<Fquad } f ( E ) = 1 {displaystyle f(E)=1} , а, значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами;
- для E > F {displaystyle E>Fquad } f ( E ) = 0 {displaystyle f(E)=0} , поэтому соответствующие квантовые состояния свободны.
При T > 0 {displaystyle T>0quad } функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий порядка нескольких k T {displaystyle kT} в окрестности точки E = F {displaystyle E=F} быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.
Вычисление статистических величин значительно упрощается, если F {displaystyle F} лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны проводимости E c {displaystyle E_{c}} на несколько k T {displaystyle kT} . Тогда в распределении Ферми-Дирака можно считать exp E − F k T ≫ 1 {displaystyle exp {frac {E-F}{kT}}gg 1} и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана классической статистики f ( E ) = C exp E − F k T {displaystyle f(E)=Cexp {frac {E-F}{kT}}} . В этом случае электронный газ не вырожден.
Аналогично в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми F {displaystyle F} тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии E v {displaystyle E_{v}} на несколько k T {displaystyle kT} .
Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака.
Концентрация носителей в зонах
Концентрация электронов в зоне проводимости описывается выражением
n = ∫ E c ∞ f ( E ) ρ c ( E ) d E = N c Φ 1 / 2 ( ξ ) {displaystyle n=int limits _{E_{c}}^{infty }f(E) ho _{c}(E)dE=N_{c}Phi _{1/2}(xi )} ,ξ = F − E c k T {displaystyle xi ={frac {F-E_{c}}{kT}}} — химический потенциал для электронов (точнее, его безразмерная величина),
ρ c ( E ) = 1 V d N d E {displaystyle ho _{c}(E)={frac {1}{V}}{frac {dN}{dE}}} – плотность электронных состояний в зоне проводимости – число состояний на единичный интервал энергий в единице объема,
N c = 2 ( m c k T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {displaystyle N_{c}=2left({frac {m_{c}kT}{2pi hbar ^{2}}} ight)^{3/2}} – эффективная плотность состояний в зоне проводимости.
Значение интеграла Φ 1 / 2 ( ξ ) {displaystyle Phi _{1/2}(xi )} зависит только от химического потенциала и температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми – Дирака с индексом 1/2:
Φ 1 / 2 ( ξ ) = 2 π ∫ 0 ∞ x 1 / 2 1 + exp ( x − ξ ) {displaystyle Phi _{1/2}(xi )={frac {2}{sqrt {pi }}}int limits _{0}^{infty }{frac {x^{1/2}}{1+exp {(x-xi )}}}} .Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично, отличия от предыдущего случая лишь в том, что используется плотность состояний в валентной зоне ρ v ( E ) {displaystyle ho _{v}(E)} и учитывается не число заполненных, а число незанятых состояний f p = ( 1 − f ) {displaystyle f_{p}=(1-f)} :
p = ∫ − ∞ E v f p ( E ) ρ v ( E ) d E = N v Φ 1 / 2 ( η ) {displaystyle p=int limits _{-infty }^{E_{v}}f_{p}(E) ho _{v}(E)dE=N_{v}Phi _{1/2}(eta )} ,N v = 2 ( m v k T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {displaystyle N_{v}=2left({frac {m_{v}kT}{2pi hbar ^{2}}} ight)^{3/2}} – эффективная плотность состояний в валентной зоне,
η = E v − F k T {displaystyle eta ={frac {E_{v}-F}{kT}}} – химический потенциал для дырок – безразмерный параметр, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны.
Для невырожденных полупроводников существен только хвост распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана. В этом случае интеграл Ферми-Дирака принимает вид Φ 1 / 2 ( ξ ) = exp ξ {displaystyle Phi _{1/2}(xi )=exp {xi }} , и концентрации носителей в зонах определяются выражениями:
n = N c exp − ( E c − F ) k T {displaystyle n=N_{c}exp {frac {-(E_{c}-F)}{kT}}} , p = N v exp E v − F k T {displaystyle p=N_{v}exp {frac {E_{v}-F}{kT}}} .Множитель перед экспонентой дает вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией E c {displaystyle E_{c}} (либо с энергией E v {displaystyle E_{v}} в случае дырок). Следовательно, для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объема было N c {displaystyle N_{c}} состояний с одинаковой энергией E c {displaystyle E_{c}} .
Рассуждая аналогично, при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией E v {displaystyle E_{v}} число которых в каждой единице объема есть N v {displaystyle N_{v}} .
В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с эффективными плотностями состояний N v , N c {displaystyle N_{v},N_{c}} . В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями N v , N c {displaystyle N_{v},N_{c}} , можно сразу установить,является ли данный полупроводник вырожденным или нет.
Отношение n p {displaystyle {frac {n}{p}}} зависит главным образом от положения уровня Ферми относительно краев зон. Из выражений для концентраций n , p {displaystyle n,p} видно, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа — в нижней половине. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми и равно n p = N c N v exp − E g k T {displaystyle np=N_{c}N_{v}exp {frac {-E_{g}}{kT}}} .