Теорема о приведении матрицы к диагональной форме

Теорема о приведении матрицы к диагональной форме — утверждение о возможности приведения любой вещественной квадратной матрицы к диагональному виду при помощи умножения на две вещественные ортогональные матрицы. Допускает обобщение на случай любой вещественной матрицы. Имеет большое значение в линейной алгебре и вычислительной математике.

Формулировка

Для любой вещественной квадратной матрицы A {displaystyle A} размера n × n {displaystyle n imes n} существуют две вещественные ортогональные n × n {displaystyle n imes n} матрицы U {displaystyle U} и V {displaystyle V} , такие, что U T A V {displaystyle U^{T}AV} диагональная матрица D {displaystyle D} . При этом можно выбрать U {displaystyle U} и V {displaystyle V} так, чтобы диагональные элементы D {displaystyle D} имели вид: μ 1 ⩾ μ 2 ⩾ . . . ⩾ μ r > μ r + 1 = . . . = μ n = 0 {displaystyle mu _{1}geqslant mu _{2}geqslant ...geqslant mu _{r}>mu _{r+1}=...=mu _{n}=0} , где r {displaystyle r} - ранг матрицы A {displaystyle A} . В том случае, если A {displaystyle A} невырожденна, μ 1 ⩾ μ 2 ⩾ . . . ⩾ μ n > 0 {displaystyle mu _{1}geqslant mu _{2}geqslant ...geqslant mu _{n}>0} .

Обобщение

Для любой вещественной матрицы A {displaystyle A} ранга r {displaystyle r} , имеющей n {displaystyle n} строк и k {displaystyle k} столбцов существуют вещественная ортогональная n × n {displaystyle n imes n} матрица U {displaystyle U} и вещественная ортогональная k × k {displaystyle k imes k} матрица V {displaystyle V} , такие, что U T A V {displaystyle U^{T}AV} является n × k {displaystyle n imes k} матрицей вида:

D = [ μ 1 0 ⋯ 0 0 μ 2 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 ] {displaystyle D={egin{bmatrix}mu _{1}&0&cdots &0&mu _{2}&cdots &0cdots &cdots &cdots &cdots &0&cdots &0end{bmatrix}}}

где μ 1 ⩾ μ 2 ⩾ . . . ⩾ μ r > 0 {displaystyle mu _{1}geqslant mu _{2}geqslant ...geqslant mu _{r}>0} .