Мера Лебега

Мера Лебега на R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} — мера, которая имеет смысл n-мерного объёма подмножеств n-мерного евклидового пространства. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств. В частности мера Лебега отрезка на вещественной прямой равна его длине, мера Лебега многоугольника на плоскости равна его площади.

Была введена Лебегом в 1902 году.

Построение на прямой

Внешняя мера

Для произвольного подмножества E {displaystyle E} числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество E {displaystyle E} . Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества E {displaystyle E} , и называется внешней мерой:

m ∗ E = inf { ∑ i Δ i } . {displaystyle m^{*}E=inf left{sum _{i}Delta _{i} ight}.}

Варианты обозначения внешней меры:

m ∗ E = φ ( E ) = | E | ∗ . {displaystyle m^{*}E=varphi (E)=|E|^{*}.}

Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счётной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счётная аддитивность даёт m ( a , b ) ⩽ m ∗ ( a , b ) {displaystyle m(a,b)leqslant m^{*}(a,b)} , тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры. Более того, можно привести такой пример меры на алгебре, что внешняя мера некоторого множества из этой алгебры строго меньше его исходной меры.

Свойства внешней меры

(монотонность) E 1 ⊆ E 2 ⇒ m ∗ E 1 ⩽ m ∗ E 2 . {displaystyle E_{1}subseteq E_{2}Rightarrow m^{*}E_{1}leqslant m^{*}E_{2}.}
(счётная полуаддитивность) E = ⋃ k = 1 ∞ E k ⇒ m ∗ E ⩽ ∑ k = 1 ∞ m ∗ E k . {displaystyle E=igcup _{k=1}^{infty }E_{k}Rightarrow m^{*}Eleqslant sum _{k=1}^{infty }m^{*}E_{k}.}
∀ E , ε > 0 ∃ G ⊇ E : m ∗ G ⩽ m ∗ E + ε {displaystyle forall E, varepsilon >0 exists Gsupseteq Ecolon m^{*}Gleqslant m^{*}E+varepsilon } , где G {displaystyle G} — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве G {displaystyle G} взять сумму интервалов, составляющих покрытие E {displaystyle E} , такую что ∑ i Δ i ⩽ m ∗ E + ε {displaystyle extstyle sum _{i}Delta _{i}leqslant m^{*}E+varepsilon } . Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество E {displaystyle E} ограничено, то внутренней мерой множества E {displaystyle E} называется разность между длиной сегмента [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} содержащего E {displaystyle E} и внешней мерой дополнения E {displaystyle E} в [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} :

m ∗ E = ( b − a ) − m ∗ ( [ a , b ] ∖ E ) . {displaystyle m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,;b]setminus E).}

Для неограниченных множеств, m ∗ E {displaystyle m_{*}E} определяется как точная верхняя грань ( b − a ) − m ∗ ( [ a , b ] ∖ E ) {displaystyle (b-a)-m^{*}([a,;b]setminus E)} по всем отрезкам [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} .

Измеримые множества

Множество называется измеримым по Лебегу, если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется мерой множества по Лебегу и обозначается m E {displaystyle mE} , μ E {displaystyle mu E} , | E | {displaystyle |E|} , λ ( E ) {displaystyle lambda (E)} или mes ⁡ E {displaystyle operatorname {mes} E} .

Пример неизмеримого множества

Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности ∼ {displaystyle sim } на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} : x ∼ y {displaystyle xsim y} если разность x − y {displaystyle x-y} рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество E {displaystyle E} представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть E {displaystyle E} счётное число раз на все рациональные числа в интервале [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1]} , то объединение будет содержать весь отрезок [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} , но при этом оно будет содержаться в отрезке [ − 1 , 2 ] {displaystyle [-1,2]} . При этом «сдвинутые копии» множества E {displaystyle E} не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения ∼ {displaystyle sim } и E {displaystyle E} .

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

1 = μ ( [ 0 ; 1 ] ) ⩽ μ ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) ⩽ μ ( [ − 1 ; 2 ] ) = 3. {displaystyle 1=mu {ig (}[0;1]{ig )}leqslant mu {igg (}igcup _{n=1}^{infty }E_{n}{igg )}=sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})leqslant mu {ig (}[-1;2]{ig )}=3.}

Однако, если построенное множество E {displaystyle E} измеримо, это невозможно: все μ ( E n ) = μ ( E ) {displaystyle mu (E_{n})=mu (E)} в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда

∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})}

либо бесконечна (если μ ( E ) > 0 {displaystyle mu (E)>0} ), либо равна нулю (если μ ( E ) = 0 {displaystyle mu (E)=0} ); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество E {displaystyle E} неизмеримо; то есть функция меры на E {displaystyle E} не распространяется.

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

История

В своих «Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных функций» Анри Лебег заявил, что его целью было найти (неотрицательную) меру на вещественной прямой, которая существовала бы для всех ограниченных множеств и удовлетворяла бы 3 условиям:

Конгруэнтные множества имеют равную меру (то есть мера инвариантна относительно операций переноса и симметрий).

Мера счётно-аддитивна.

Мера интервала (0, 1) равна 1.

Конструкция Лебега охватывала обширный класс множеств вещественных чисел и определяла множество измеримых функций, более широкое, чем множество аналитических функций. При этом всякая измеримая функция допускала применение многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Уже в следующем году (1905) Дж. Витали показал, что мера, удовлетворяющая трём приведенным выше условиям, не охватывает всех ограниченных вещественных множеств: он построил множество, не имеющее меры с указанными свойствами. Более того, в 1914 году Хаусдорф доказал, что даже заменив требование счётной аддитивности на более слабое условие конечной аддитивности, мы всё равно обнаружим в трёхмерном пространстве ограниченные неизмеримые множества. Для прямой, как обнаружил Банах в 1923 году, универсальная конечно-аддитивная мера существует и даже не единственна.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э. Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909).

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.