Иерархия вер

Иерархия вер (англ. belief hierarchy) — объект эпистемической теории игр, позволяющий определить категорию, рациональности и общей веры в рациональность. Под верой понимается вероятностное распределение на неком пространстве неопределённости — например, на множестве стратегий другого игрока (однако элементы пространства могут иметь и экзогенную природу). Концепция иерархии вер введена Мертенсом и Замиром. Иерархию вер можно задать напрямую, либо с помощью дополнительной структуры — типов игроков. Веры о поведении оппонентов представляют собой первый уровень иерархии. Видно, что в таком построении интроспективные веры отсутствуют, то есть игрок не сталкивается с неопределённостью в отношении собственных стратегий (и не сталкивается с более сложными, философскими интерпретациями). Второй уровень иерархии — веры игрока о стратегиях других игроков и их верах первого порядка. Следуя этому принципу, можно выстроить n-й уровень иерархии.

Подход на основе типов предложен Джоном Харсаньи, который использовал его для моделирования игр с неполной информацией. Тип — это свойство, характеризующее игрока и позволяющее определить другие полезные объекты, в том числе функцию веры.

Формализация

Рассмотрим случай двух игроков. Пусть Δ ( Y ) {displaystyle Delta (Y)} обозначает множество вероятностных распределений для любого конечного множества Y {displaystyle Y} . Имеем игру G = ( I , ( S i , u i ) i ∈ I ) {displaystyle G=(I,(S_{i},u_{i})_{iin I})} , где множества I {displaystyle I} и S i ∀ i {displaystyle S_{i}forall i} конечны, u i : S i × S − i → R {displaystyle u_{i}:S_{i} imes S_{-i} ightarrow mathbb {R} } .

Обозначим пространство неопределённости X − i {displaystyle X_{-i}} . Если предметом неопределённости являются стратегии других игроков, то X − i = S − i {displaystyle X_{-i}=S_{-i}} . Тогда вера первого порядка i-го игрока p i 1 {displaystyle p_{i}^{1}} принадлежит множеству распределений на S − i {displaystyle S_{-i}} , p i 1 ∈ Δ ( S − i ) {displaystyle p_{i}^{1}in Delta (S_{-i})} .

Вера второго порядка представляет собой меру на декартовом произведении S − i {displaystyle S_{-i}} и Δ ( S i ) {displaystyle Delta (S_{i})} (множестве распределений на пространстве вер о стратегиях всех игроков, в том числе i), p i 2 ∈ Δ ( S − i × Δ ( s i ) ) {displaystyle p_{i}^{2}in Delta (S_{-i} imes Delta (s_{i}))} .

Иерархия вер — это последовательность ( p i 1 , p i 2 , p i 3 , . . . ) {displaystyle (p_{i}^{1},p_{i}^{2},p_{i}^{3},...)} .