Нулевая матрица

Нулевая матрица — это матрица, размера m × n , {displaystyle m imes n,} все элементы которой равны нулю. Она обозначается как Z {displaystyle Z} или O {displaystyle O} или O m , n {displaystyle O_{m,n}}

Z = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) {displaystyle Z={egin{pmatrix}0&0&cdots &0&0&cdots &0vdots &vdots &ddots &vdots &0&cdots &0end{pmatrix}}}

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

a Z = Z . {displaystyle a,Z=Z.}

• Сумма матрицы A {displaystyle A} и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице A {displaystyle A} :

A + Z = A , Z + A = A . {displaystyle A+Z=A,;;;Z+A=A.}

• Разница матрицы A {displaystyle A} и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице A {displaystyle A} :

A − Z = A . {displaystyle A-Z=A.}

• Произведение матрицы A {displaystyle A} размера l × m , {displaystyle l imes m,} на нулевую матрицу размера m × n , {displaystyle m imes n,} равно нулевой матрице размера l × n : {displaystyle l imes n:}

A ⋅ Z = Z . {displaystyle Acdot Z=Z.}

• Квадратная нулевая матрица n×n при n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю: | Z | = 0. {displaystyle left|Z ight|=0.} Таким образом, такая матрица не имеет обратной.

• Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

Z T = Z . {displaystyle Z^{T}=Z.}

• Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:

Z T = − Z ( = Z ) . {displaystyle Z^{T}=-Z,(=Z).} Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

Z A = A Z = Z {displaystyle ZA=AZ=Z} .

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Пары ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что N M = Z m × n {displaystyle NM=Z_{m imes n}} существуют тогда и только тогда, когда l ⩾ 2 {displaystyle lgeqslant 2} . Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда n ⩾ 2 {displaystyle ngeqslant 2} . Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.