Главная
Винтовая линия — кривая в трёхмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе, пересекающая образующие под одинаковым углом.
Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:
t ↦ ( a ⋅ cos t , a ⋅ sin t , b ⋅ t ) {displaystyle tmapsto (acdot cos t,acdot sin t,bcdot t)} ,или в иной записи:
x ( t ) = a ⋅ cos t , {displaystyle x(t)=acdot cos t,} y ( t ) = a ⋅ sin t , {displaystyle y(t)=acdot sin t,} z ( t ) = b ⋅ t {displaystyle z(t)=bcdot t} ,где a , b {displaystyle a,b} — вещественные константы, не равные нулю.
Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость x , y {displaystyle x,y} представляет собой окружность.
Коническая винтовая линия (также спиральновинтовая линия), определяется параметрическими уравнениями вида:
t ↦ ( a ⋅ t ⋅ cos t , a ⋅ t ⋅ sin t , b ⋅ t ) {displaystyle tmapsto (acdot tcdot cos t,acdot tcdot sin t,bcdot t)} ,или:
x ( t ) = a ⋅ t ⋅ cos t {displaystyle x(t)=acdot tcdot cos t} y ( t ) = a ⋅ t ⋅ sin t {displaystyle y(t)=acdot tcdot sin t} z ( t ) = b ⋅ t {displaystyle z(t)=bcdot t} .Проекция спиральновинтовой линии на плоскость x , y {displaystyle x,y} — спираль Архимеда.
Тело, имеющее форму винтовой линии в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых.
«Правые» и «левые» винтовые линии
Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по «правилу буравчика» или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент b {displaystyle b} в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».
Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы применяются очень редко в специальных применениях, например, для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.
Элементы и свойства
Величину 2 ⋅ π ⋅ b {displaystyle 2cdot pi cdot b} называют шагом винтовой линии, геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра.
Все винтовые линии являются линиями откоса, то есть, касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна C {displaystyle C} и кручение S {displaystyle S} постоянны в любой точке и равны:
C = | a | a 2 + b 2 {displaystyle C={frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}} , S = b a 2 + b 2 {displaystyle S={frac {b}{a^{2}+b^{2}}}} .Элемент длины d L {displaystyle dL} :
d L = d t ⋅ a 2 + b 2 {displaystyle dL=dtcdot {sqrt {a^{2}+b^{2}}}} .Угол Φ {displaystyle Phi } между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют геликальным углом, он равен:
Φ = arctan ( b a ) {displaystyle Phi =arctan({ frac {b}{a}})} .Примеры тел в виде винтовой линии
Форму винтовой линии или геликоида имеют, например, следующие молекулы:
- ДНК — двойная спираль (двойной винт),
- РНК,
- актиновая нить — двойная спираль,
- кальмодулин,
- молекулы, имеющие хиральность,
- аспарагиназа.
Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины, часть винтовых свёрл, соединительные винты, болты, шпильки, винты (шнеки) мясорубок, экструдеров, винт Архимеда, шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид).