Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден контрпример.
Формулировка
Предположим F {displaystyle F} — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что
P ( F ) S ( F ) ≤ 4 , {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}leq 4,}где P ( F ) {displaystyle P(F)} обозначает периметр, а S ( F ) {displaystyle S(F)} площадь F {displaystyle F} .
Замечания
- Если все у всех квадратов совпадают центры, то выполняется равенство. P ( F ) S ( F ) = 4. {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}=4.}
История
- Тамас Келети доказал, что отношение ограничено сверху некоторой константой.
- Генеш доказал, что P ( F ) S ( F ) ≤ 5 , 6. {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}leq 5{,}6.}
- если все квадраты из семейства получаются друг из друга параллельным переносом,
- если квадраты имею общий центр
- если число квадратов равно 2.
- В 2014 году, Виктор Кисс и Золтен Виндянски построили контрпример из 5 квадратов. Они также построили пример с отношением около 4 , 28 {displaystyle 4{,}28} .
Вариации и обобщения
- По теореме Келети, для данного многоугольника K, частное периметра к площади у произвольного объединения многоугольников равных K, ограничено сверху.
- Аналогичные задачи для правильных многоугольников также имеют контрпримеры. То есть для правильного многоугольника K существует конечный набор равных многоугольников с объединением F такой, что