Главная
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021











         » » Ассоциатор

Ассоциатор

06.02.2021

Ассоциатор в общей алгебре — трилинейное отображение R × R × R → R {displaystyle R imes R imes R o R} над кольцом (не обязательно ассоциативным) R {displaystyle R} , определяемое по формуле:

[ x , y , z ] = ( x y ) z − x ( y z ) {displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)} .

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

Свойства

В любом кольце для ассоциатора верно тождество:

w [ x , y , z ] + [ w , x , y ] z = [ w x , y , z ] − [ w , x y , z ] + [ w , x , y z ] {displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]} .

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:

[ x 1 , x 2 , x 3 ] = sgn ⁡ σ [ x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) , x σ ( 3 ) ] {displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]=operatorname {sgn} sigma [x_{sigma (1)},x_{sigma (2)},x_{sigma (3)}]} ,

где σ {displaystyle sigma } — перестановка трёх элементов, а sgn ⁡ σ {displaystyle operatorname {sgn} sigma } — чётность этой перестановки.

Теория категорий

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:

a x , y , z : ( x ⊗ y ) ⊗ z ↦ x ⊗ ( y ⊗ z ) {displaystyle a_{x,y,z}:(xotimes y)otimes zmapsto xotimes (yotimes z)} .

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.