Главная
Парадокс закономерности — наблюдение, заключающееся в том, что большинство людей, увидев явную закономерность в результатах серии испытаний (например, выпадение 10 раз подряд одного и того же исхода из двух равновероятных), будут склонны считать, что испытания не являются случайными, потому что появление этой последовательности в случайных испытаниях является маловероятным событием. Однако вероятности появления любой последовательности из 10 значений в независимых случайных испытаниях с двумя равновероятными исходами одинаковы и равны 1 / 2 10 {displaystyle 1/2^{10}} , то есть настолько же маловероятны.
Описание
Парадокс может быть проиллюстрирован с помощью следующей игры с двумя участниками. Первый участник подбрасывает монету 50 раз и записывает результаты бросаний на листе бумаги (пусть орёл обозначается 1, а решка — 0). Второй участник не видит результатов этих испытаний. На втором листе бумаги первый участник пишет любую последовательность такой же длины из нулей и единиц (его мотивы и способ формирования этой последовательности преднамеренно не раскрываются). Затем листы бумаги перемешиваются и отдаются второму участнику. Оказалось, что на одном из них написано:
00111100000100110100000111010111101000111101011010 (последовательность A),а на другом:
11111111111111111111111111111111111111111111111111 (последовательность B).Второй участник должен угадать, на каком из листов записан результат бросания монеты. Для идеальной монеты, у которой вероятность выпадения орла в каждом бросании равна точно 1/2, все возможные последовательности равновероятны. Поэтому, если он выберет лист произвольно, то вероятность правильного ответа будет 1/2. Есть ли у него возможность увеличить шансы правильного ответа?
Парадокс возникает между следующими утверждениями:
- Выбрав лист с последовательностью A, второй участник может значительно увеличить свои шансы на успех.
- Для идеальной монеты вероятности последовательностей A и B одинаковы, поэтому вероятность правильного ответа составляет 1/2.
Бросок монеты и закон Бернулли
Бросок монеты является испытанием Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли гласит, что при большом числе испытаний частота появления события практически не отличается от вероятности события. Так как вероятность получить орла равна 1/2, то отношение числа выпадений монеты к общему числу n {displaystyle n} бросков монеты приближённо равно 1/2 (с вероятностью, близкой к 1). Однако, это не значит, что не может быть нескольких выпадений решки подряд. При n = 100 {displaystyle n=100} можно ожидать серию в 6-7 решек подряд, а при n = 1000 {displaystyle n=1000} может выпасть 9-10 решек подряд. Этот факт позволяет говорить о неслучайности последовательности, составленной из двух символов, если в ней отсутствуют длинные серии.
Разрешение парадокса
Если выпала последовательность B, но никто до бросков монеты не называл или иным образом не зафиксировал такую последовательность, то здесь нет никакой удачи и совпадения. Фактически произошло событие, что выпала одна из возможных последовательностей, вероятность такого события равна 1.
Если же участник игры до бросков монеты назвал последовательность B (или хотя бы подумал о последовательности B) и действительно выпала последовательность B, то здесь имеет место невероятная удача. Вероятность такого события равна 1 / 2 50 {displaystyle 1/2^{50}} .
Последовательность А участником игры до бросков монеты мысленно фиксируется как одна из необычных последовательностей. Необычных последовательностей не так много (например, «все орлы», «все решки», «первый 25 бросков — орлы, остальные решки» и т.п.), поэтому выпадение необычной последовательности является маловероятным.