Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс X = ( X t ) t ⩾ 0 {displaystyle X=(X_{t})_{tgeqslant 0}} , заданный на фильтрованном вероятностном пространстве ( Ω , F , ( F t ) t ⩾ 0 , P ) {displaystyle left(Omega ,;{mathfrak {F}},;({mathfrak {F}}_{t})_{tgeqslant 0},;P ight)} с потоком ( F t ) t ⩾ 0 {displaystyle ({mathfrak {F}}_{t})_{tgeqslant 0}} .

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение d X t = a ( t , ω ) d t + b ( t , ω ) d B t {displaystyle dX_{t}=a(t,;omega ),dt+b(t,;omega ),dB_{t}} , или, в интегральной форме

X t = X 0 + ∫ 0 t a ( s , ω ) d s + ∫ 0 t b ( s , ω ) d B s , {displaystyle X_{t}=X_{0}+int limits _{0}^{t}a(s,;omega ),ds+int limits _{0}^{t}b(s,;omega ),dB_{s},}

где B = ( B t , F t ) t ⩾ 0 {displaystyle B=left(B_{t},;{mathfrak {F}}_{t} ight)_{tgeqslant 0}} — броуновское движение.

Пусть теперь F ( t , x ) {displaystyle F(t,;x)} — заданная на R + × R {displaystyle mathbb {R} _{+} imes mathbb {R} } непрерывная функция из класса C 1 , 2 {displaystyle C^{1,;2}} , то есть имеющая производные ∂ F ∂ t ,   ∂ F ∂ x ,   ∂ 2 F ∂ x 2 . {displaystyle {frac {partial F}{partial t}}, {frac {partial F}{partial x}}, {frac {partial ^{2}F}{partial x^{2}}}.}

При этих предположениях:

d F ( t , X t ) = [ ∂ F ∂ t + a ( t , ω ) ∂ F ∂ x + 1 2 b 2 ( t , ω ) ∂ 2 F ∂ x 2 ] d t + ∂ F ∂ x b ( t , ω ) d B t . {displaystyle dF(t,;X_{t})=left[{frac {partial F}{partial t}}+a(t,;omega ){frac {partial F}{partial x}}+{frac {1}{2}}b^{2}(t,omega ){frac {partial ^{2}F}{partial x^{2}}} ight],dt+{frac {partial F}{partial x}}b(t,;omega ),dB_{t}.}

Говоря более строго, при каждом t > 0 {displaystyle t>0} для F ( t , X t ) {displaystyle F(t,;X_{t})} справедлива следующая формула Ито:

F ( t , X t ) = F ( 0 , X 0 ) + ∫ 0 t [ ∂ F ∂ t + a ( s , ω ) ∂ F ∂ x + 1 2 b 2 ( s , ω ) ∂ 2 F ∂ x 2 ] d s + ∫ 0 t ∂ F ∂ x b ( s , ω ) d B s . {displaystyle F(t,;X_{t})=F(0,;X_{0})+int limits _{0}^{t}left[{frac {partial F}{partial t}}+a(s,;omega ){frac {partial F}{partial x}}+{frac {1}{2}}b^{2}(s,;omega ){frac {partial ^{2}F}{partial x^{2}}} ight],ds+int limits _{0}^{t}{frac {partial F}{partial x}}b(s,;omega ),dB_{s}.}

Многомерное обобщение