Случайная величина

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» ξ {displaystyle xi } . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией y = ξ ( ω ) {displaystyle y=xi (omega )} , значения y {displaystyle y} которой численно выражают исходы ω {displaystyle omega } случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции ξ ( ω ) {displaystyle xi (omega )} бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из Ω {displaystyle Omega } в R {displaystyle mathbb {R} } .

Как функция, случайная величина ξ ( ω ) {displaystyle xi (omega )} не является вероятностью наступления события ω {displaystyle omega } , а возвращает численное выражение исхода ω {displaystyle omega } . Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия.

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.

Существует ряд задач математического анализа и теории чисел, для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах.

История

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867). Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933), после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к, где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение

Формальное математическое определение следующее: пусть ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция ξ : Ω → R {displaystyle xi colon Omega o mathbb {R} } , измеримая относительно F {displaystyle {mathcal {F}}} и борелевской σ-алгебры на R {displaystyle mathbb {R} } . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом. Функция ξ : Ω → R {displaystyle xi colon Omega o mathbb {R} } называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел a {displaystyle a} и b {displaystyle b} множество событий ω {displaystyle omega } , таких что ξ ( ω ) ∈ ( a , b ) {displaystyle xi (omega )in (a,b)} , принадлежит F {displaystyle {mathcal {F}}} .

Способы задания

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F ( x ) {displaystyle F(x)} равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа x {displaystyle x} . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F ( b ) − F ( a ) {displaystyle F(b)-F(a)} . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина ξ {displaystyle xi } принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины ξ {displaystyle xi } и ξ 3 {displaystyle xi ^{3}} описываются одной и той же функцией распределения F(x).

Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины ξ {displaystyle xi } . Если f ( x ) {displaystyle f(x)} — борелевская функция, то η = f ( ξ ) {displaystyle eta =f(xi )} также является случайной величиной. Например, если ξ {displaystyle xi } — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина χ 2 = ξ 2 {displaystyle chi ^{2}=xi ^{2}} имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей p k = P ( ξ = x k ) , k ∈ N {displaystyle p_{k}=P(xi =x_{k}),;kin mathbb {N} } всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N {displaystyle N} раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p {displaystyle p} , «неудача» — с вероятностью q = 1 − p {displaystyle q=1-p} . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k {displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}cdot p^{k}cdot q^{n-k}} .

Если при стремлении n {displaystyle n} к бесконечности произведение n p {displaystyle np} остаётся равной константе λ > 0 {displaystyle lambda >0} , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

p ( k ) ≡ P ( Y = k ) = λ k k ! e − λ {displaystyle p(k)equiv mathbb {P} (Y=k)={frac {lambda ^{k}}{k!}},e^{-lambda }} ,

где

• символ « ! {displaystyle !} » обозначает факториал,
• e = 2.7182818284 … {displaystyle e=2.7182818284ldots } — основание натурального логарифма.

Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины ξ = ξ ( ω ) {displaystyle xi =xi (omega )} в линейном нормированном пространстве X на пространстве элементарных событий ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathfrak {A}},mathbb {P} )} называется интеграл

E ⁡ ξ = ∫ Ω ξ ( ω ) P ( d ω ) = ∫ Ω x P ξ ( d ω ) {displaystyle mathop {mathbb {E} } xi =int limits _{Omega }xi (omega ),mathbb {P} (domega )=int limits _{Omega }xmathbb {P_{xi }} (domega )}

(в предположении, что функция ξ = ξ ( ω ) {displaystyle xi =xi (omega )} является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины ξ {displaystyle xi } называется величина, равная:

D ⁡ ξ = E ⁡ ( ξ − E ⁡ ξ ) 2 = E ⁡ ξ 2 − ( E ⁡ ξ ) 2   . {displaystyle operatorname {D} xi =mathop {mathbb {E} } (xi -mathop {mathbb {E} } xi )^{2}=mathop {mathbb {E} } xi ^{2}-(mathop {mathbb {E} } xi )^{2}~.}

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение σ ξ 2 {displaystyle sigma _{xi }^{2}} или σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} . Величина σ {displaystyle sigma } , равная

σ = D ⁡ ξ {displaystyle sigma ={sqrt {operatorname {D} xi }}}

называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } называется следующая величина:

c o v ( ξ , η ) {displaystyle mathrm {cov} (xi ,eta )} = E ⁡ ( ξ − E ⁡ ξ ) ( η − E ⁡ η ) {displaystyle operatorname {E} (xi -operatorname {E} {xi })({eta }-operatorname {E} {eta })}

(предполагается, что математические ожидания определены).

Если c o v ( ξ , η ) {displaystyle mathrm {cov} (xi ,eta )} = 0, то случайные величины ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно.

Функции от случайных величин

Если f ( x ) {displaystyle f(x)} — борелевская функция, а ξ {displaystyle xi } — случайная величина, то ее функциональное преобразование η = f ( ξ ) {displaystyle eta =f(xi )} также является случайной величиной. Например, если ξ {displaystyle xi } — стандартная нормальная случайная величина, случайная величина χ 2 = ξ 2 {displaystyle chi ^{2}=xi ^{2}} имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента, являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } с совместным распределением F ξ η ( x , y ) {displaystyle F_{xi eta }(x,y)} , а ϕ = ϕ ( x , y ) {displaystyle phi =phi (x,y)} — некоторая борелевская функция, то для ζ = ϕ ( ξ , η ) {displaystyle zeta =phi (xi ,eta )} справедливо:

F ζ ( z ) = ∫ { x , y : ϕ ( x , y ) ⩽ z } d F ξ η ( x , y )   . {displaystyle F_{zeta }(z)=int limits _{{x,y:phi (x,y)leqslant z}},dF_{xi eta }(x,y)~.}

Если ϕ ( x , y ) = x + y {displaystyle phi (x,y)=x+y} , ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } независимы, то F ξ η ( x , y ) = F ξ ( y ) F η ( y ) {displaystyle F_{xi eta }(x,y)=F_{xi }(y)F_{eta }(y)} . Применяя теорему Фубини, получаем:

F ζ ( z ) = ∫ − ∞ ∞ F η ( z − x ) d F ξ ( x ) {displaystyle F_{zeta }(z)=int limits _{-infty }^{infty },F_{eta }(z-x)dF_{xi }(x)}

и аналогично:

F ζ ( z ) = ∫ − ∞ ∞ F ξ ( z − y ) d F η ( y )   . {displaystyle F_{zeta }(z)=int limits _{-infty }^{infty },F_{xi }(z-y)dF_{eta }(y)~.}

Если F {displaystyle F} и G {displaystyle G} функции распределения, то функцию

H ( z ) = ∫ − ∞ ∞ F ( z − x ) d G ( x ) {displaystyle H(z)=int limits _{-infty }^{infty },F(z-x)dG(x)}

называют свёрткой F {displaystyle F} и G {displaystyle G} и обозначают F ∗ G {displaystyle F*G} .
Характеристическая функция ζ = ξ + η {displaystyle zeta =xi +eta } суммы независимых случайных величин ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } является преобразованием Фурье свёртки F ∗ G {displaystyle F*G} функций распределения F {displaystyle F} и G {displaystyle G} и равна произведения характеристических функций ξ {displaystyle xi } и η {displaystyle eta } :

ϕ ζ ( u ) = ϕ ξ ( u ) ϕ η ( u )   . {displaystyle phi _{zeta }(u)=phi _{xi }(u)phi _{eta }(u)~.}

Примеры

Дискретная случайная величина

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени.

Подбрасывание монеты

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий Ω = { {displaystyle Omega ={} орёл, решка } {displaystyle }} или кратко { o p , p e } {displaystyle {op,pe}} . Пусть случайная величина ξ {displaystyle xi } равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

ξ ( ω ) = { 10 , если  ω = op , − 33 , если  ω = pe . {displaystyle xi (omega )={egin{cases}10,&{ ext{если }}omega ={ ext{op}},[6pt]-33,&{ ext{если }}omega ={ ext{pe}}.end{cases}}}

Если монета идеальная, то выигрыш ξ {displaystyle xi } будет иметь вероятность, заданную как:

P ( ξ = y ) = { 1 2 , если  y = 10 , 1 2 , если  y = − 33 , {displaystyle P(xi =y)={egin{cases}{ frac {1}{2}},&{ ext{если }}y=10,[6pt]{ frac {1}{2}},&{ ext{если }}y=-33,end{cases}}} где P ( ξ = y ) {displaystyle P(xi =y)} — вероятность получения y {displaystyle y} рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.

Бросание игральных костей

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости n 1 {displaystyle n_{1}} и n 2 {displaystyle n_{2}} , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины ξ {displaystyle xi } , которая задаётся функцией:

ξ ( ( n 1 , n 2 ) ) = n 1 + n 2 {displaystyle xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}

и (если кости идеальные) функция вероятности для ξ {displaystyle xi } задаётся через:

P ( S ) = min ( S − 1 , 13 − S ) 36 ,  for  S ∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } {displaystyle P(S)={frac {min(S-1,13-S)}{36}},{ ext{ for }}Sin {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}} , где S {displaystyle S} — сумма очков на выпавших костях.

Колода карт

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда ω {displaystyle omega } будет представлять одну из вытянутых карт; здесь ω {displaystyle omega } не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ ω {displaystyle omega } . Тогда функция ξ ( ω ) {displaystyle xi (omega )} , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту ω {displaystyle omega } . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть ω = K ♣ {displaystyle omega =K_{clubsuit }} , тогда после подставления этого исхода в функцию ξ ( K ♣ ) {displaystyle xi (K_{clubsuit })} , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом K ♣ {displaystyle K_{clubsuit }} эти операции проводить было нельзя.

Абсолютно непрерывная случайная величина

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция p ( x ) {displaystyle p(x)} , удовлетворяющая при любых x {displaystyle x} равенству P ( ω ∣ ξ ( ω ) ≤ x ) = ∫ − ∞ x p ( z ) d z {displaystyle P(omega mid xi (omega )leq x)= extstyle int limits _{-infty }^{x}displaystyle p(z)dz} . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция p ( x ) {displaystyle p(x)} называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Рост случайного прохожего

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ω {displaystyle omega } ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина ξ {displaystyle xi } выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина ξ {displaystyle xi } интерпретируется как функция y = ξ ( ω ) {displaystyle y=xi (omega )} , которая трансформирует каждого испытуемого ω {displaystyle omega } в число — его рост y {displaystyle y} . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности ξ {displaystyle xi } , которое в совокупности с ξ {displaystyle xi } и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция ξ : Ω → R n {displaystyle xi colon Omega o mathbb {R} ^{n}} называется n {displaystyle n} -мерным случайным вектором (относительно борелевской σ {displaystyle sigma } -алгебры на R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ).
• Измеримая функция ξ : Ω → C n {displaystyle xi colon Omega o mathbb {C} ^{n}} называется n {displaystyle n} -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ {displaystyle sigma } -алгебры).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.