Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




21.09.2022


14.09.2022


12.09.2022


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Инволюция (математика)

16.09.2022

Инволюция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение

Функция f : X → X {displaystyle fcolon X o X} называется инволюцией, если f ( f ( x ) ) = x {displaystyle f(f(x))=x} для всякого x ∈ X {displaystyle xin X} .

Свойства

  • Любая инволюция — это биекция.
  • Композиция f ∘ g {displaystyle {f}circ {g}} двух инволюций f {displaystyle f} и g {displaystyle g} является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: f ∘ g = g ∘ f {displaystyle {f}circ {g}=gcirc f} .

Примеры

  • f ( x ) = − x {displaystyle f(x)=-x} , заданная на множестве целых Z {displaystyle mathbb {Z} } , рациональных Q {displaystyle mathbb {Q} } или вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } ;
  • простейшие инволюции на множестве вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } : a x {displaystyle {dfrac {a}{x}}} , a − x {displaystyle a-x} , x x − 1 {displaystyle {dfrac {x}{x-1}}} , x + 1 x − 1 {displaystyle {dfrac {x+1}{x-1}}} , x − 1 x + 1 {displaystyle {dfrac {x-1}{x+1}}} , a x + b c x − a {displaystyle {dfrac {ax+b}{cx-a}}} ;
  • f ( x ) = x ¯ {displaystyle f(x)={ar {x}}} — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества U {displaystyle U} ;
  • f ( x ) = ¬ x {displaystyle f(x)= eg x} — логическое отрицание булевой алгебры;
  • Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
    • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
  • инверсия;
  • комплексное сопряжение;
  • преобразование Лежандра
  • Перестановка τ {displaystyle au } является инволюцией, если τ ∘ τ = i d {displaystyle au circ au =id} , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например: ( 1 2 3 4 5 6 7 8 5 7 4 3 1 8 2 6 ) = ( 1 , 5 ) ( 2 , 7 ) ( 3 , 4 ) ( 6 , 8 ) {displaystyle {egin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&85&7&4&3&1&8&2&6end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)} .
    • Число инволюций в группе перестановок порядка n {displaystyle n} определяется по формулам: a ( 0 ) = 1 ,   a ( 1 ) = 1 ,   a ( n ) = a ( n − 1 ) + ( n − 1 ) a ( n − 2 ) ,   n > 1 {displaystyle a(0)=1, a(1)=1, a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2), n>1} (рекуррентная формула), a ( n ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] n ! 2 k ⋅ ( n − 2 k ) ! ⋅ k ! {displaystyle a(n)=sum _{k=0}^{[n/2]}{frac {n!}{2^{k}cdot (n-2k)!cdot k!}}} ,
(первые значения a ( n ) {displaystyle a(n)} : 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152).