Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0. {displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,quad a eq 0.}

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция f ( x ) {displaystyle f(x)} является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a > 0 {displaystyle a>0} , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если a < 0 {displaystyle a<0} , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени x 1 , x 2 , x 3 , x 4 {displaystyle x_{1},,x_{2},,x_{3},,x_{4}} связаны с коэффициентами a , b , c , d , e {displaystyle a,,b,,c,,d,,e} следующим образом:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − b a , {displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{frac {b}{a}},} x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = c a , {displaystyle x_{1},x_{2}+x_{1},x_{3}+x_{1},x_{4}+x_{2},x_{3}+x_{2},x_{4}+x_{3},x_{4}={frac {c}{a}},} x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − d a , {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}+x_{1},x_{2},x_{4}+x_{1},x_{3},x_{4}+x_{2},x_{3},x_{4}=-{frac {d}{a}},} x 1 x 2 x 3 x 4 = e a . {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}={frac {e}{a}}.}

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

x 4 + p x 2 + q x + r = 0 {displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}

сводится к решению кубической резольвенты

y 3 − 2 p y 2 + ( p 2 − 4 r ) y + q 2 = 0 {displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0}

Корни резольвенты y 1 , y 2 , y 3 {displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}} связаны с корнями исходного уравнения x 1 , x 2 , x 3 , x 4 {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}} (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

y 1 = ( x 1 + x 2 ) ( x 3 + x 4 ) {displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})} y 2 = ( x 1 + x 3 ) ( x 2 + x 4 ) {displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})} y 3 = ( x 1 + x 4 ) ( x 2 + x 3 ) {displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между y i {displaystyle y_{i}} и x i {displaystyle x_{i}} вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при x 3 {displaystyle x^{3}} )

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 {displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0}

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 {displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,quad a eq 0}

сделаем подстановку x = y − b 4 a {displaystyle x=y-{frac {b}{4a}}} , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

y 4 + p y 2 + q y + r = 0 , {displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0,}

где

p = 8 a c − 3 b 2 8 a 2 , {displaystyle p={frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},} q = 8 a 2 d − 4 a b c + b 3 8 a 3 , {displaystyle q={frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},} r = 256 a 3 e − 64 a 2 b d + 16 a b 2 c − 3 b 4 256 a 4 . {displaystyle r={frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.}

Корни y 1 , y 2 , y 3 , y 4 {displaystyle y_{1},,y_{2},,y_{3},,y_{4}} такого уравнения равны одному из следующих выражений:

± z 1 {displaystyle pm {sqrt {z_{1}}}} ± z 2 {displaystyle pm {sqrt {z_{2}}}} ± z 3 , {displaystyle pm {sqrt {z_{3}}},}

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

( ± z 1 ) ( ± z 2 ) ( ± z 3 ) = − q 8 , {displaystyle (pm {sqrt {z_{1}}})(pm {sqrt {z_{2}}})(pm {sqrt {z_{3}}})=-{frac {q}{8}},}

причём z 1 , z 2 , z 3 {displaystyle z_{1},,z_{2},,z_{3}} — это корни кубического уравнения

z 3 + p 2 z 2 + p 2 − 4 r 16 z − q 2 64 = 0. {displaystyle z^{3}+{frac {p}{2}}z^{2}+{frac {p^{2}-4r}{16}}z-{frac {q^{2}}{64}}=0.}

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} может быть найдено по методу Феррари. Если y 1 {displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x 2 + a 2 x + y 1 2 = ± ( a 2 4 − b + y 1 ) x 2 + ( a 2 y 1 − c ) x + y 1 2 4 − d {displaystyle x^{2}+{frac {a}{2}}x+{frac {y_{1}}{2}}=pm {sqrt {left({frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1} ight)x^{2}+left({frac {a}{2}}y_{1}-c ight)x+{frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени вида a x 4 + b x 2 + c = 0 {displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0} , где a , b , c {displaystyle a,b,c} — заданные комплексные числа и a ≠ 0 {displaystyle a ot =0} . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой y = x 2 ; y ⩾ 0 {displaystyle y=x^{2};ygeqslant 0} оно сводится к квадратному уравнению относительно y {displaystyle y} .

Четыре его корня находятся по формуле

x 1 , 2 , 3 , 4 = ± − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {displaystyle x_{1,2,3,4}=pm {sqrt {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a = 0 {displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0} такого, что a ≠ 0 {displaystyle a eq 0} , решение находится приведением к виду:

a ( x 2 + 1 x 2 ) + b ( x + 1 x ) + c = 0 {displaystyle aleft(x^{2}+{1 over x^{2}} ight)+bleft(x+{1 over x} ight)+c=0} ,

После замены t = x + 1 x {displaystyle t={x+{1 over x}}} ищется решение квадратного уравнения a t 2 + b t + c − 2 a = 0 {displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0} , а затем — квадратного уравнения x 2 − t x + 1 = 0 {displaystyle x^{2}-tx+1=0} .