Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Диффеоморфизм Аносова

07.05.2022

В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизмы Аносова — введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Определение

Диффеоморфизм f : M → M {displaystyle f:M ightarrow M} — диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно, существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, Eu и Es, инвариантных относительно динамики, причём на Eu динамика экспоненциально растягивает, а на Es экспоненциально сжимает:

‖ f n ( v ) ‖ ≤ c 1 λ n ‖ v ‖ ∀ n ∈ N , v ∈ E s , {displaystyle |f^{n}(v)|leq c_{1},lambda ^{n}|v|quad forall nin mathbb {N} ,,vin E^{s},} ‖ f n ( v ) ‖ ≥ c 2 μ n ‖ v ‖ ∀ n ∈ N , v ∈ E u , {displaystyle |f^{n}(v)|geq c_{2},mu ^{n}|v|quad forall nin mathbb {N} ,,vin E^{u},}

где c 1 , c 2 > 0 {displaystyle c_{1},c_{2}>0} и μ > 1 > λ > 0 {displaystyle mu >1>lambda >0} — константы.

Свойства

  • Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует такая его окрестность в пространстве диффеоморфизмов класса C1, любой диффеоморфизм g из которой сопряжён с f некоторым гомеоморфизмом h:
f ∘ h = h ∘ g . {displaystyle fcirc h=hcirc g.} Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой координат (правда, лишь непрерывной!).
  • Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:
‖ f − n ( v ) ‖ ≤ c 3 μ − n ‖ v ‖ ∀ n ∈ N , v ∈ E u . {displaystyle |f^{-n}(v)|leq c_{3},mu ^{-n}|v|quad forall nin mathbb {N} ,,vin E^{u}.}

Примеры

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения ( 2 1 1 1 ) {displaystyle left({egin{smallmatrix}2&11&1end{smallmatrix}} ight)} на двумерном торе T 2 = R 2 / Z 2 {displaystyle mathbb {T} ^{2}=mathbb {R} ^{2}/mathbb {Z} ^{2}} .

Более обще, если матрица A ∈ S L n ( Z ) {displaystyle Ain SL_{n}(mathbb {Z} )} не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор T n = R n / Z n {displaystyle mathbb {T} ^{n}=mathbb {R} ^{n}/mathbb {Z} ^{n}} (корректно определённый, поскольку A сохраняет Z n {displaystyle mathbb {Z} ^{n}} ) будет диффеоморфизмом Аносова.