Главная
Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.
Построение вейвлетов Добеши
Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:
φ ( t ) = 2 ∑ k h k φ ( 2 t − k ) , {displaystyle varphi (t)={sqrt {2}}sum _{k}h_{k}varphi (2t-k),} ψ ( t ) = 2 ∑ k g k φ ( 2 t − k ) . {displaystyle psi (t)={sqrt {2}}sum _{k}g_{k}varphi (2t-k).}Компактность носителя функций φ {displaystyle varphi } и ψ {displaystyle psi } может быть достигнута, если будет выбрано конечное число h n ≠ 0 {displaystyle h_{n} eq 0} таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:
| m 0 ( ω ) | 2 + | m 0 ( ω + π ) | 2 = 1 , {displaystyle |m_{0}(omega )|^{2}+|m_{0}(omega +pi )|^{2}=1,}где | m 0 ( ω ) | = ∑ n h n e − i n ω 2 {displaystyle |m_{0}(omega )|=sum _{n}{frac {h_{n}e^{-inomega }}{sqrt {2}}}} — тригонометрический полином, при условии моментов
d l ψ ω d ω l | ω = 0 = 0 {displaystyle left.{frac {d^{l}psi {omega }}{domega ^{l}}} ight|_{omega =0}=0}для l = 0 , 1 , … , N − 1 {displaystyle l=0, 1, ldots , N-1} принимающий вид
m 0 ( ω ) ∝ ( 1 + e i ω 2 ) N . {displaystyle m_{0}(omega )propto left({frac {1+e^{iomega }}{2}} ight)^{N}.}Если положить, что M 0 ( ω ) = | m 0 ( ω ) | 2 {displaystyle M_{0}(omega )=|m_{0}(omega )|^{2}} — полином по cos ω {displaystyle cos omega } , то условие нулевых моментов даёт M 0 ( ω ) = cos 2 N ω 2 ⋅ L ( ω ) {displaystyle M_{0}(omega )=cos ^{2N}{ frac {omega }{2}}cdot L(omega )} , где L ( ω ) = P sin 2 ω 2 {displaystyle L(omega )=Psin ^{2}{ frac {omega }{2}}} — полином по cos ω {displaystyle cos omega } .
Для поиска коэффициентов h n {displaystyle h_{n}} необходимо получить m 0 {displaystyle m_{0}} , выделив форму полинома P {displaystyle P} . Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что
P ( y ) = ( 1 − y ) − N ( 1 − y N P ( 1 − y ) ) . {displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)).}Разложив ( 1 − y ) − N {displaystyle (1-y)^{-N}} до порядка N − 1 {displaystyle N-1} , получим явный вид полинома:
P ( y ) = ( 1 − y ) − N ( 1 − y N P ( 1 − y ) ) = ∑ k = 0 N − 1 ( N + k − 1 k ) y k . {displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=sum _{k=0}^{N-1}{inom {N+k-1}{k}}y^{k}.}Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни m 0 {displaystyle m_{0}} из P {displaystyle P} :
m 0 ( ω ) = c o n s t ( z + 1 2 ) N ∏ j = 1 N − 1 ( z − z j ) . {displaystyle m_{0}(omega )=mathrm {const} left({frac {z+1}{2}} ight)^{N}prod _{j=1}^{N-1}(z-z_{j}).}Искомые коэффициенты вейвлета h j / 2 {displaystyle h_{j}/{sqrt {2}}} будут являться коэффициентами при z j {displaystyle z^{j}} в обратном порядке.
Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию φ {displaystyle varphi } по известным коэффициентам h n {displaystyle h_{n}} . На каждом шаге алгоритма функция φ {displaystyle varphi } уточняется по оси t {displaystyle t} в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание φ {displaystyle varphi } . После этого, зная φ {displaystyle varphi } и h n {displaystyle h_{n}} , находится функция самого вейвлета ψ {displaystyle psi } .