Главная
Жёсткость — свойство подмногообразия M {displaystyle M} в евклидовом пространстве (или, более обще, в пространстве постоянной кривизны), заключающееся в том, что любая его изометрическая вариация (бесконечно малое изгибание) является тривиальной, то есть соответствующее её поле скоростей на M {displaystyle M} индуцируется полем Киллинга на M {displaystyle M} . Вопрос о жёсткости подмногообразий — по существу вопрос о единственности решения системы дифференциальных уравнений, являющихся линеаризацией системы уравнений для изометричных изгибаний подмногообразия. В частности, если подмногообразие допускает нетривиальное изометрическое изгибание, то оно не является жёстким.
Примеры
- Замкнутая строго выпуклая поверхность — жёсткая.
- Тор — жёсткий.
- Кусок плоскости с закрепленным краем — нежёсткий.
- Сферический сегмент S {displaystyle S} , скользящий краем по плоскости, будет жёстким или нет в зависимости от того, меньше или больше S {displaystyle S} полусферы.
- Метрическое произведение k {displaystyle k} двумерных сфер S 2 ⊂ R 3 {displaystyle S^{2}subset mathbb {R} ^{3}} является жёстким в евклидовом пространстве R 3 k {displaystyle mathbb {R} ^{3k}} и нежёстким в R 3 k + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{3k+1}} .
Вариации
Понятие жёсткости переносится также на многогранники, см. теорема Коши о многогранниках.