Теория интегрируемых систем

Теория интегрируемых систем — раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии.

С-интегрируемые системы

Под С-интегрируемыми понимают такие системы, решения которых могут быть представлены в явном виде не сложнее, чем через квадратуры — интегралы, зависящие от начальных данных задачи.

Примеры

Гамильтоновы интегрируемые системы и метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния подразумевает, что уравнение в частных производных можно представить в виде пары Лакса — системы двух линейных операторов, условием совместности которых будет рассматриваемая система.

Примеры

• уравнение синус-Гордона

∂ 2 u ∂ t ∂ x = sin ⁡ u u = u ( x , t ) {displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial tpartial x}}=sin uqquad u=u(x,t)}

есть условие совместности системы ∂ ψ → ∂ t = − 1 2 λ ( 0 exp ⁡ ( i u ) exp ⁡ ( i u ) 0 ) ψ → , ∂ ψ → ∂ x = − 1 2 ( − i ∂ u ∂ x λ λ i ∂ u ∂ x ) ψ → , ψ → = ( ψ 1 ( x , t ) ψ 2 ( x , t ) ) {displaystyle {frac {partial {vec {psi }}}{partial t}}=-{frac {1}{2lambda }}{egin{pmatrix}0&exp(iu)exp(iu)&0end{pmatrix}}{vec {psi }},qquad {frac {partial {vec {psi }}}{partial x}}=-{frac {1}{2}}{egin{pmatrix}-i{frac {partial u}{partial x}}&lambda lambda &i{frac {partial u}{partial x}}end{pmatrix}}{vec {psi }},qquad {vec {psi }}={egin{pmatrix}psi _{1}(x,t)psi _{2}(x,t)end{pmatrix}}}

• нелинейное уравнение Шрёдингера
• уравнение Кортевега — де Фриза

Построение решений

Интегрируемые системы и симметрии

Интегрируемые цепочки

Примеры

• Цепочка Тоды
• Цепочка Бенни