Кусочно-линейная функция

Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение и задание

Пусть заданы x 1 < x 2 < … < x n {displaystyle x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}} — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов ( − ∞ ; x 1 ) , ( x 1 ; x 2 ) ; … ( x n ; + ∞ ) {displaystyle (-infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});ldots (x_{n};+infty )} отдельной формулой. Записывают это в виде: f ( x ) = { k 0 x + b 0 , x < x 1 k 1 x + b 1 , x 1 < x < x 2 ⋯ k n x + b n , x n < x {displaystyle f(x)={egin{cases}k_{0}x+b_{0},quad x<x_{1}k_{1}x+b_{1},quad x_{1}<x<x_{2}cdots k_{n}x+b_{n},quad x_{n}<xend{cases}}}

Если к тому же выполнены условия согласования

k i x i + b i = k i + 1 x i + b i + 1 = f ( x i ) {displaystyle k_{i}x_{i}+b_{i}=k_{i+1}x_{i}+b_{i+1}=f(x_{i})} при i = 1 , 2 , … , n − 1 {displaystyle i=1,2,ldots ,n-1} ,

то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Альтернативное задание

Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида

f ( x ) = a x + b + c 1 | x − x 1 | + c 2 | x − x 2 | + … + c n | x − x n | {displaystyle f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+ldots +c_{n}|x-x_{n}|} .

При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:

c i = k i − k i − 1 2 {displaystyle c_{i}={frac {k_{i}-k_{i-1}}{2}}} , при i = 1 , 2 , … , n {displaystyle i=1,2,ldots ,n} a = k 0 + k n 2 {displaystyle a={frac {k_{0}+k_{n}}{2}}}

Свойства

• Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).

Пример кусочно-линейной функции

График функции на рисунке аналитически задан в виде:

f ( x ) = { − x − 3 если   x ≤ − 3 x + 3 если   − 3 < x < 0 − 2 x + 3 если   0 ≤ x < 3 0 , 5 x − 4 если   x ≥ 3 {displaystyle f(x)={egin{cases}-x-3&{ ext{если}} xleq -3x+3&{ ext{если}} -3<x<0-2x+3&{ ext{если}} 0leq x<3,5x-4&{ ext{если}} xgeq 3end{cases}}}