Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона) — это простое число p {displaystyle p} , такое, что p 2 {displaystyle p^{2}} делит ( p − 1 ) ! + 1 {displaystyle (p-1)!+1} , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое p {displaystyle p} делит ( p − 1 ) ! + 1 {displaystyle (p-1)!+1} .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅1013.

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

∑ i = 1 p − 1 i p − 1 = 1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 ≡ p − 1 ( mod p 2 ) {displaystyle sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+cdots +(p-1)^{p-1}equiv p-1{pmod {p^{2}}}} .

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.

Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона. Другой поиск координируется проектом mersenneforum.

Обобщения

Почти простые Вильсона

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p2) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 106 до 4⋅1011:

Числа Вильсона

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

W ( m ) = ( m − 1 ) ! + 1 m {displaystyle W(m)={frac {(m-1)!+1}{m}}}

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа 1 {displaystyle 1} имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅108.