Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана — определённая 1-форма на группе Ли G со значениями в её алгебре Ли, несущую основную инфинитезимальную информацию о структуре этой группы. Широко использовалась Эли Картаном как основная составляющая его метода подвижных реперов. Помимо имени Картана носит имя Людвига Маурера.

Построение

Алгебра Ли отождествляется с касательным пространством группы Ли G в единице и обозначается TeG. Форма Маурера — Картана ω — глобально определённая на G 1-форма, представляющая собой линейное отображение касательного пространств TgG для каждого g ∈ G в TeG. Она задаётся как перенос вектора TgG под действием левого сдвига на группе:

ω ( v ) = ( L g − 1 ) ∗ v , v ∈ T g G . {displaystyle omega (v)=(L_{g^{-1}})_{*}v,quad vin T_{g}G.}

Внутренняя конструкция

Если G вложена в GL(n) с помощью матричнозначного отображения g =(gij), то форму ω можно записать явно как

ω g = g − 1 d g . {displaystyle omega _{g}=g^{-1},dg.}

В этом смысле форма Маурера — Картана — всегда левая логарифмическая производная отображения g.