Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Определение

Пусть дан числовой ряд ∑ n = 0 ∞ a n . {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}.} Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:

lim n → ∞ ∑ k = 1 n Δ k a 0 2 k + 1 = s e ( A ) {displaystyle lim _{n o infty }sum _{k=1}^{n}{frac {Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)}

Рассмотрим ряд ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k {displaystyle sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}2^{k}} . Последовательностями разностей будут 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , . . . {displaystyle 1,2,4,8,16,...} , − 1 , − 2 , − 4 , − 8 , . . . {displaystyle -1,-2,-4,-8,...} , 1 , 2 , 4 , 8 , . . . {displaystyle 1,2,4,8,...} , − 1 , − 2 , − 4 , − 8 , . . . {displaystyle -1,-2,-4,-8,...} , преобразование Эйлера приводит к ряду 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + . . . = 1 3 {displaystyle {frac {1}{2}}-{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}-{frac {1}{16}}+...={frac {1}{3}}} .