Теория категорий

Теория категорий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell.

Определение

Категория C {displaystyle {mathcal {C}}} — это:

класс объектов O b C {displaystyle Ob_{mathcal {C}}} ;
для каждой пары объектов A {displaystyle A} , B {displaystyle B} задано множество морфизмов (или стрелок) H o m C ( A , B ) {displaystyle mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)} , причём каждому морфизму соответствуют единственные A {displaystyle A} и B {displaystyle B} ;
для пары морфизмов f ∈ H o m ( A , B ) {displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} и g ∈ H o m ( B , C ) {displaystyle gin mathrm {Hom} (B,C)} определена композиция g ∘ f ∈ H o m ( A , C ) {displaystyle gcirc fin mathrm {Hom} (A,C)} ;
для каждого объекта A {displaystyle A} задан тождественный морфизм i d A ∈ H o m ( A , A ) {displaystyle mathrm {id} _{A}in mathrm {Hom} (A,A)} ;

причём выполняются две аксиомы:

операция композиции ассоциативна: h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {displaystyle hcirc (gcirc f)=(hcirc g)circ f} и
тождественный морфизм действует тривиально: f ∘ i d A = i d B ∘ f = f {displaystyle fcirc mathrm {id} _{A}=mathrm {id} _{B}circ f=f} для f ∈ H o m ( A , B ) {displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

Малая категория

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория C {displaystyle {mathcal {C}}} , в которой O b C {displaystyle Ob_{mathcal {C}}} является множеством и H o m ( C ) {displaystyle Hom({mathcal {C}})} (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории C {displaystyle {mathcal {C}}} можно определить двойственную категорию C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} , в которой:

объекты совпадают с объектами исходной категории;
морфизмы получаются «обращением стрелок»: H o m C o p ( B , A ) ≃ H o m C ( A , B ) {displaystyle mathrm {Hom} _{{mathcal {C}}^{op}}(B,A)simeq mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)}

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм f ∈ H o m ( A , B ) {displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g ∈ H o m ( B , A ) {displaystyle gin mathrm {Hom} (B,A)} , что g ∘ f = i d A {displaystyle gcirc f=mathrm {id} _{A}} и f ∘ g = i d B {displaystyle fcirc g=mathrm {id} _{B}} . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов E n d ( A ) = H o m ( A , A ) {displaystyle mathrm {End} (A)=mathrm {Hom} (A,A)} является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом i d A {displaystyle mathrm {id} _{A}} .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов A u t ( A ) {displaystyle mathrm {Aut} (A)} по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм f ∈ H o m ( A , B ) {displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} такой, что для любых g 1 , g 2 ∈ H o m ( X , A ) {displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (X,A)} из f ∘ g 1 = f ∘ g 2 {displaystyle fcirc g_{1}=fcirc g_{2}} следует, что g 1 = g 2 {displaystyle g_{1}=g_{2}} . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм f ∈ H o m ( A , B ) {displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} , что для любых g 1 , g 2 ∈ H o m ( B , X ) {displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (B,X)} из g 1 ∘ f = g 2 ∘ f {displaystyle g_{1}circ f=g_{2}circ f} следует g 1 = g 2 {displaystyle g_{1}=g_{2}} . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ∅ {displaystyle varnothing } , терминальным — любое множество из одного элемента { ⋅ } {displaystyle {cdot }} . Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект A × B {displaystyle A imes B} с морфизмами p 1 : A × B → A {displaystyle p_{1}:A imes B o A} и p 2 : A × B → B {displaystyle p_{2}:A imes B o B} такими, что для любого объекта C {displaystyle C} с морфизмами f 1 : C → A {displaystyle f_{1}:C o A} и f 2 : C → B {displaystyle f_{2}:C o B} существует единственный морфизм g : C → A × B {displaystyle g:C o A imes B} такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы p 1 : A × B → A {displaystyle p_{1}:A imes B o A} и p 2 : A × B → B {displaystyle p_{2}:A imes B o B} называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение A + B {displaystyle A+B} объектов A {displaystyle A} и B {displaystyle B} . Соответствующие морфизмы ı A : A → A + B {displaystyle imath _{A}:A o A+B} и ı B : B → A + B {displaystyle imath _{B}:B o A+B} называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств A × B {displaystyle A imes B} , а сумма — дизъюнктное объединение A ⊔ B {displaystyle Asqcup B} . Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение A ⊗ B {displaystyle Aotimes B} , а произведение — прямая сумма колец A ⊕ B {displaystyle Aoplus B} . Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств A ⊕ B {displaystyle Aoplus B} .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ∏ i ∈ I A i {displaystyle prod _{iin I}A_{i}} . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ∏ i ∈ I V i {displaystyle prod _{iin I}V_{i}} являются произвольные бесконечные последовательности элементов v i ∈ V i {displaystyle v_{i}in V_{i}} , в то время как элементами бесконечного копроизведения ∐ i ∈ I V i {displaystyle coprod _{iin I}V_{i}} являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор F : C → D {displaystyle {mathcal {F}}:{mathcal {C}} o {mathcal {D}}} ставит в соответствие каждому объекту категории C {displaystyle {mathcal {C}}} объект категории D {displaystyle {mathcal {D}}} и каждому морфизму f : A → B {displaystyle f:A o B} морфизм F ( f ) : F ( A ) → F ( B ) {displaystyle F(f):{mathcal {F}}(A) o {mathcal {F}}(B)} так, что

F ( i d A ) = i d F ( A ) {displaystyle F(mathrm {id} _{A})=mathrm {id} _{F(A)}} и
F ( g ) ∘ F ( f ) = F ( g ∘ f ) {displaystyle F(g)circ F(f)=F(gcirc f)} .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из C {displaystyle {mathcal {C}}} в D o p {displaystyle {mathcal {D}}^{op}} (или из C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} в D {displaystyle {mathcal {D}}} ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму f : A → B {displaystyle f:A o B} он сопоставляет морфизм F ( f ) : F ( B ) → F ( A ) {displaystyle F(f):{mathcal {F}}(B) o {mathcal {F}}(A)} , соответственным образом обращается правило композиции: F ( g ) ∘ F ( f ) = F ( f ∘ g ) {displaystyle F(g)circ F(f)=F(fcirc g)} .

Естественные преобразования

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если F {displaystyle F} и G {displaystyle G} — ковариантные функторы из категории C {displaystyle C} в D {displaystyle D} , то естественное преобразование η {displaystyle eta } сопоставляет каждому объекту X {displaystyle X} категории C {displaystyle C} морфизм η X : F ( X ) → G ( X ) {displaystyle eta _{X}:F(X) o G(X)} таким образом, что для любого морфизма f : X → Y {displaystyle f:X o Y} в категории C {displaystyle C} следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что η X {displaystyle eta _{X}} — изоморфизм для любого X {displaystyle X} .

Некоторые типы категорий

Моноидальные категории
Абелевы категории
Топосы