Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Бет-число

01.05.2021

Числа бет ( ℶ {displaystyle eth } ) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как ℶ 0 ,   ℶ 1 ,   ℶ 2 ,   ℶ 3 ,   … {displaystyle eth _{0}, eth _{1}, eth _{2}, eth _{3}, dots } , где ℶ {displaystyle eth } названа по второй букве еврейского алфавита (бет).

Числа бет являются частью иерархии алефов ( ℵ 0 ,   ℵ 1 ,   … {displaystyle aleph _{0}, aleph _{1}, dots } ). Начинаются они одинаково: ℶ 0 = ℵ 0 , {displaystyle eth _{0}=aleph _{0},} а расположение ℶ 1 {displaystyle eth _{1}} среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то ℶ 1 = ℵ 1 {displaystyle eth _{1}=aleph _{1}} (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: ℶ α = ℵ α {displaystyle eth _{alpha }=aleph _{alpha }} для любого индекса α . {displaystyle alpha .} Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много ℵ {displaystyle aleph } , которые не являются ℶ {displaystyle eth } .

Определение

Общее определение для конечных индексов:

ℶ 0 = ℵ 0 {displaystyle eth _{0}=aleph _{0}} ℶ α + 1 = 2 ℶ α {displaystyle eth _{alpha +1}=2^{eth _{alpha }}}

Для бесконечных индексов:

ℶ λ = sup { ℶ α : α < λ } . {displaystyle eth _{lambda }=sup{eth _{alpha }:alpha <lambda }.}

Примеры.

  • бет-ноль ( ℶ 0 {displaystyle {displaystyle eth _{0}}} ) — равен ℵ 0 {displaystyle {displaystyle aleph _{0}}} .
  • бет-один ( ℶ 1 {displaystyle eth _{1}} ) — множество континуума.
  • бет-два ( ℶ 2 {displaystyle eth _{2}} ) — 2c, например, булеан действительных чисел.
  • бет-омега ( ℶ ω {displaystyle eth _{omega }} ) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.