Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Константа Чигера

09.03.2021

Изопериметрической константой Чигера компактного риманова многообразия M называется положительное вещественное число h(M), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности, которая делит M на две непересекающиеся части равного объёма. В 1970-м году Джеф Чигер доказал неравенство, связывающее первое нетривиальное собственное число оператора Лапласа — Бельтрами на M с числом h(M). Это доказательство оказало большое влияние на риманову геометрию и способствовало созданию аналогичной концепции в теории графов.

Определение

Пусть Mn-мерное замкнутое риманово многообразие. Обозначим через V(A) объём произвольного n-мерного подмногообразия A; через S(E) обозначим n−1-мерный объём подмногообразия E (обычно в этом контексте его называют «площадью»). Тогда изопериметрическая константа Чигера многообразия M определяется как

h ( M ) = inf E S ( E ) min ( V ( A ) , V ( B ) ) , {displaystyle h(M)=inf _{E}{frac {S(E)}{min(V(A),V(B))}},}

где инфимум берётся по всем гладким n−1-мерным подмногообразиям E многообразия M, которые делят его на два непересекающихся подмногообразия A и B. Изопериметрическая константа может быть определена и для некомпактных римановых многообразий конечного объёма.

Неравество Чигера

Константа Чигера h(M) и наименьшее положительное собственное число оператора Лапласа λ 1 ( M ) {displaystyle scriptstyle {lambda _{1}(M)}} связаны следующим фундаментальным неравенством, доказанным Чигером:

λ 1 ( M ) ≥ h 2 ( M ) 4 . {displaystyle lambda _{1}(M)geq {frac {h^{2}(M)}{4}}.}

Это неравенсво оптимально в следующем смысле: для любого h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h(M) = h и такое, что k-ое собственное число оператора Лапласа находится на расстоянии не более ε от границы Чигера (Бузер, 1978).

Неравенство Бузера

Питер Бузер нашёл выражение для верхней границы λ 1 ( M ) {displaystyle scriptstyle {lambda _{1}(M)}} через изопериметрическую константу h(M). Пусть Mn-мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена сверху числом −(n−1)a2, где a ≥ 0.

Тогда

λ 1 ( M ) ≤ 2 a ( n − 1 ) h ( M ) + 10 h 2 ( M ) . {displaystyle lambda _{1}(M)leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).}