Главная
Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временной области (импульсная характеристика) — функцию sinc. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временной области, так и в частотной).
Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов — в частности, при доказательстве теоремы Котельникова и формулы Уиттакера — Шеннона.
Характеристики
Временные
Пусть f 0 {displaystyle f_{0}} — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:
h ( t ) = F − 1 { H ( f ) } ( t ) = 2 f 0 ⋅ sin ( 2 π f 0 t ) 2 π f 0 t = 2 f 0 ⋅ sinc ( 2 f 0 t ) {displaystyle h(t)={mathcal {F}}^{-1}left{Hleft(f ight) ight}left(t ight)=2f_{0}cdot {frac {sin left(2pi f_{0}t ight)}{2pi f_{0}t}}=2f_{0}cdot operatorname {sinc} left(2f_{0}t ight)} ,где s i n c {displaystyle mathrm {sinc} } — нормированная функция sinc.
Частотные
Частотная характеристика фильтра:
H ( f ) = rect ( f 2 f 0 ) {displaystyle Hleft(f ight)=operatorname {rect} left({frac {f}{2f_{0}}} ight)} ,где rect {displaystyle operatorname {rect} } — прямоугольная функция.
Пусть x ( t ) {displaystyle xleft(t ight)} — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье F { x } = X ( ω ) {displaystyle {mathcal {F}}{x}=X(omega )} . Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику h ( t ) {displaystyle hleft(t ight)} , воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:
F { h ∗ x } = { X ( ω ) | ω | ≤ 2 π f 0 0 | ω | > 2 π f 0 {displaystyle {mathcal {F}}left{h*x ight}=left{{egin{matrix}Xleft(omega ight)&left|omega ight|leq 2pi f_{0} &left|omega ight|>2pi f_{0}end{matrix}} ight.} ,где ∗ {displaystyle *} — оператор свёртки.