Главная
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Примеры
Функциональному уравнению:
f ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) f ( 1 − s ) {displaystyle f(s)=2^{s}pi ^{s-1}sin left({frac {pi s}{2}} ight)Gamma (1-s)f(1-s)} ,где Γ ( z ) {displaystyle Gamma (z)} — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ {displaystyle zeta } .
Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
f ( x ) = f ( x + 1 ) x {displaystyle f(x)={f(x+1) over x}} f ( y ) f ( y + 1 2 ) = π 2 2 y − 1 f ( 2 y ) {displaystyle f(y)fleft(y+{frac {1}{2}} ight)={frac {sqrt {pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)} f ( z ) f ( 1 − z ) = π sin ( π z ) {displaystyle f(z)f(1-z)={pi over sin(pi z)}} (формула дополнения Эйлера)Функциональное уравнение:
f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {displaystyle fleft({az+b over cz+d} ight)=(cz+d)^{k}f(z)} ,где a , b , c , d {displaystyle a,b,c,d} являются целыми числами, удовлетворяющими равенству a d − b c = 1 {displaystyle ad-bc=1} , то есть:
| a b c d | = 1 {displaystyle {egin{vmatrix}a&bc&dend{vmatrix}},=1} ,определяет f {displaystyle f} как модулярную форму порядка k {displaystyle k} .
Функциональные уравнения Коши:
- f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} — удовлетворяют все линейные однородные функции f ( x ) = a x {displaystyle f(x)=ax} ,
- f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) {displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)} — удовлетворяют все показательные функции f ( x ) = exp ( α x ) = a x {displaystyle f(x)=exp left(alpha x ight)=a^{x}} ,
- f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)} — удовлетворяют все логарифмические функции f ( x ) = α log ( x ) = log a ( x ) {displaystyle f(x)=alpha log left(x ight)=log _{a}left(x ight)} ,
- f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) {displaystyle f(xy)=f(x)f(y)} — удовлетворяют все степенные функции f ( x ) = exp ( α log ( x ) ) = x a {displaystyle f(x)=exp left(alpha log left(x ight) ight)=x^{a}} .
Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение f ( x 1 x 2 ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})} приводится к уравнению g ( y 1 + y 2 ) = g ( y 1 ) + g ( y 2 ) {displaystyle g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})} после замены g ( y ) = log | f ( exp y ) | {displaystyle g(y)=log left|f(exp y) ight|} (для этого, естественно, нужно, чтобы f ( x ) {displaystyle f(x)} не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение f ( x ) ≡ 0 {displaystyle f(x)equiv 0} . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».
Другие:
- f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 [ f ( x ) + f ( y ) ] {displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]} — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет f ( x ) = k x 2 {displaystyle f(x)=kx^{2}} ,
- f ( x + y 2 ) = f ( x ) + f ( y ) 2 {displaystyle fleft({frac {x+y}{2}} ight)={frac {f(x)+f(y)}{2}}} — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции f ( x ) = a x + b {displaystyle f(x)=ax+b} ,
- f ( x + y ) f ( x − y ) = f ( x ) 2 {displaystyle f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}} — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет f ( x ) = a c x {displaystyle f(x)=ac^{x}} ,
- f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 [ f ( x ) f ( y ) ] {displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]} — уравнение Даламбера,
- f ( h ( x ) ) = f ( x ) + 1 {displaystyle f(h(x))=f(x)+1} — уравнение Абеля,
- f ( h ( x ) ) = c f ( x ) {displaystyle f(h(x))=cf(x)} — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией h ( x ) {displaystyle extstyle h(x)} .
Рекуррентные соотношения
Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
Линейные рекуррентные соотношения:
a ( n ) = ∑ i = 1 , k c i ⋅ a ( n − i ) {displaystyle a(n)=sum _{i=1,k}c_{i}cdot a(n-i)}(где c 1 , c 2 , … , c k {displaystyle c_{1},c_{2},dots ,c_{k}} — константы, не зависящие от n {displaystyle n} ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:
a ( n ) = 3 a ( n − 1 ) + 4 a ( n − 2 ) {displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)} ,достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.
Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию a ( n ) = λ n {displaystyle a(n)=lambda ^{n}} с неопределённым параметром λ {displaystyle lambda } и попробовать найти те λ {displaystyle lambda } , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение λ 2 = 3 λ + 4 {displaystyle lambda ^{2}=3lambda +4} с двумя различными корнями λ = − 1 {displaystyle lambda =-1} и λ = 4 ; {displaystyle lambda =4;} поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула a ( n ) = d 1 4 n + d 2 ( − 1 ) n {displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}} (константы d 1 {displaystyle d_{1}} и d 2 {displaystyle d_{2}} подбираются так, чтобы при n = 1 {displaystyle n=1} и n = 2 {displaystyle n=2} формула давала нужные значения для величин a ( 1 ) {displaystyle a(1)} и a ( 2 ) {displaystyle a(2)} ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции n λ n , {displaystyle nlambda ^{n},} n 2 λ n {displaystyle n^{2}lambda ^{n}} и так далее.
Одним из широко известных рекуррентных соотношений является a ( n ) = a ( n − 1 ) + a ( n − 2 ) {displaystyle a(n)=a(n-1)+a(n-2)} , определяющее последовательность Фибоначчи.
Решение функциональных уравнений
Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.
В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых f ( f ( x ) ) = x {displaystyle f(f(x))=x} ; простейшие инволюции:
f ( x ) = − x {displaystyle f(x)=-x} , f ( x ) = 1 x {displaystyle f(x)={frac {1}{x}}} , f ( x ) = 1 1 − x + 1 {displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}+1} , f ( x ) = 1 − x {displaystyle f(x)=1-x} .Например, для решения уравнения:
f 2 ( x + y ) = f 2 ( x ) + f 2 ( y ) {displaystyle f^{2}(x+y)=f^{2}(x)+f^{2}(y)}для всех x , y ∈ R {displaystyle x,yin mathbb {R} } и f : R → R {displaystyle f:mathbb {R} o R} , положим x = y = 0 {displaystyle x=y=0} : f 2 ( 0 ) = f 2 ( 0 ) + f 2 ( 0 ) {displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(0)+f^{2}(0)} . Тогда f 2 ( 0 ) = 0 {displaystyle f^{2}(0)=0} и f ( 0 ) = 0 {displaystyle f(0)=0} . Далее, положив y = − x {displaystyle y=-x} :
f 2 ( x − x ) = f 2 ( x ) + f 2 ( − x ) {displaystyle f^{2}(x-x)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)} f 2 ( 0 ) = f 2 ( x ) + f 2 ( − x ) {displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)} 0 = f 2 ( x ) + f 2 ( − x ) {displaystyle 0=f^{2}(x)+f^{2}(-x)}Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит f 2 ( x ) = 0 {displaystyle f^{2}(x)=0} для всех x {displaystyle x} и f ( x ) ≡ 0 {displaystyle f(x)equiv 0} является единственным решением этого уравнения.