Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Статистический критерий

09.03.2021

Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка X = ( X 1 , … , X n ) {displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})} из неизвестного совместного распределения P X {displaystyle mathbb {P} ^{mathbf {X} }} , и семейство статистических гипотез H 0 , H 1 , … {displaystyle H_{0},H_{1},ldots } . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

f : R n → { H 0 , H 1 , … } {displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o {H_{0},H_{1},ldots }} .

Таким образом, каждой реализации выборки x = ( x 1 , … , x n ) {displaystyle mathbf {x} =(x_{1},ldots ,x_{n})} статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

  • Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: H 0 : a = a 0 {displaystyle H_{0}:quad a=a_{0}} — нулевая гипотеза. H 1 : a > a 0 ( a < a 0 ) {displaystyle H_{1}:quad a>a_{0}quad (a<a_{0})} или a ≠ a 0 {displaystyle a eq a_{0}} — конкурирующая гипотеза.
  • Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:
  • Критерий Пирсона
  • Критерий Колмогорова
  • Критерий Андерсона — Дарлинга
  • Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
  • Критерий согласия Купера
  • Z-тест
  • Тест Харке — Бера
  • Критерий Шапиро — Уилка
  • График нормальности — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.
    • Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (т.е. проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

    Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

    Непараметрические критерии

    Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

    • Q-критерий Розенбаума
    • U-критерий Манна — Уитни
    • Критерий Уилкоксона
    • Критерий Пирсона
    • Критерий Колмогорова — Смирнова

    Параметрические критерии

    Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

    • t-критерий Стьюдента
    • Критерий Фишера
    • Критерий отношения правдоподобия
    • Критерий Романовского

    Пример статистического критерия

    Пусть дана независимая выборка X = ( X 1 , … , X n ) ⊤ {displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})^{ op }} из нормального распределения N ( μ , 1 ) ,   i = 1 , … , n {displaystyle {mathcal {N}}(mu ,1), i=1,ldots ,n} (здесь μ {displaystyle mu } — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

    H 0 : μ = 0 , H 1 : μ = 1. {displaystyle {egin{matrix}H_{0}:&mu =0,H_{1}:&mu =1.end{matrix}}}

    Тогда можно определить следующий статистический критерий:

    f ( x 1 , … , x n ) = { H 0 , x ¯ ≤ 0.5 H 1 , x ¯ > 0.5 , {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})=left{{egin{matrix}H_{0},&{ar {x}}leq 0.5H_{1},&{ar {x}}>0.5,end{matrix}} ight.}

    где x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {displaystyle {ar {x}}={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}} - выборочное среднее.