Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Колесо (алгебра)

08.03.2021

Колесо (от англ. Wheel theory — «теория колес», иногда «ролик») — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента ⊥ {displaystyle ot } , где 0 / 0 = ⊥ {displaystyle 0/0=ot } . Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом ∞ {displaystyle infty } , где z / 0 = ∞ {displaystyle z/0=infty } для любых комплексных z ≠ 0 {displaystyle z eq 0} . Однако 0 / 0 {displaystyle 0/0} не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой ⊙ {displaystyle odot } , обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой ⊥ = 0 / 0 {displaystyle ot =0/0} .

Определение

Колесо — это алгебраическая структура ( W , 0 , 1 , + , ⋅ , / ) {displaystyle (W,0,1,+,cdot ,/)} (где операция / унарная), удовлетворяющая:

  • Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а 0 {displaystyle 0} и 1 {displaystyle 1} представляют собой их нейтральные элементы.
  • / / x = x {displaystyle //x=x}
  • / ( x y ) = / x / y {displaystyle /(xy)=/x/y}
  • x z + y z = ( x + y ) z + 0 z {displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}
  • ( x + y z ) / y = x / y + z + 0 y {displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}
  • 0 ⋅ 0 = 0 {displaystyle 0cdot 0=0}
  • ( x + 0 y ) z = x z + 0 y {displaystyle (x+0y)z=xz+0y}
  • / ( x + 0 y ) = / x + 0 y {displaystyle /(x+0y)=/x+0y}
  • 0 / 0 + x = 0 / 0 {displaystyle 0/0+x=0/0}

Алгебра колес

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: « / x {displaystyle /x} ». Это похоже на определение обратного числа x − 1 {displaystyle x^{-1}} , но не идентично ему. В колесах a / b {displaystyle a/b} становится краткой записью для a ⋅ / b = / b ⋅ a {displaystyle acdot /b=/bcdot a} и изменяет правила алгебры так, что

  • 0 x ≠ 0 {displaystyle 0x eq 0} в общем случае
  • x − x ≠ 0 {displaystyle x-x eq 0} в общем случае
  • x / x ≠ 1 {displaystyle x/x eq 1} в общем случае, поскольку / x {displaystyle /x} не совпадает с мультипликативно обратным числом для x {displaystyle x} .

Если существует элемент a {displaystyle a} такой, что 1 + a = 0 {displaystyle 1+a=0} , то становится возможным определить отрицание (противоположное число) − x = a x {displaystyle -x=ax} и вычитание x − y = x + ( − y ) {displaystyle x-y=x+(-y)} .

Некоторые следствия:

  • 0 x + 0 y = 0 x y {displaystyle 0x+0y=0xy}
  • x − x = 0 x 2 {displaystyle x-x=0x^{2}}
  • x / x = 1 + 0 x / x {displaystyle x/x=1+0x/x}

Тогда для x {displaystyle x} при 0 x = 0 {displaystyle 0x=0} и 0 / x = 0 {displaystyle 0/x=0} получаем привычные

  • x − x = 0 {displaystyle x-x=0}
  • x / x = 1 {displaystyle x/x=1}

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса { x ∣ 0 x = 0 } {displaystyle {xmid 0x=0}} является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если x {displaystyle x} — обратимый элемент коммутативного кольца, то x − 1 = / x {displaystyle x^{-1}=/x} . Таким образом, если x − 1 {displaystyle x^{-1}} имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен / x {displaystyle /x} , но операция / x {displaystyle /x} определена всегда, даже для x = 0 {displaystyle x=0} .