Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Система Цермело — Френкеля

07.03.2021

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств, являющийся фактическим стандартом для оснований математики. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году как средство преодоления парадоксов теории множеств, и уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC, англ. Zermelo—Fraenkel set theory with the axiom of Choice).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка. Существуют и другие системы; например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов, при этом она равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Аксиомы ZFC

Аксиомами ZFC называется следующая последовательность высказываний теории множеств:

  • ∀ A 1 ∀ A 2   ( ∀ b   ( b ∈ A 1 ⇔ b ∈ A 2 ) ⇒ A 1 = A 2 ) {displaystyle forall A_{1}forall A_{2} (forall b (bin A_{1}Leftrightarrow bin A_{2})Rightarrow A_{1}=A_{2})} условие равенства множеств (аксиома объёмности).
  • ∀ a 1 ∀ a 2   ∃ C   ∀ b   ( b ∈ C ⇔ ( b = a 1   ∨   b = a 2 ) ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} exists C forall b {igl (}bin CLeftrightarrow (b=a_{1} lor b=a_{2}){igr )}} существование множества C = { a 1 , a 2 } {displaystyle C={a_{1},a_{2}}} , состоящего из двух элементов.
  • ∀ A   ∃ D   ∀ c   ( c ∈ D ⇔ ∃ a   ( a ∈ A   ∧   c ∈ a ) ) {displaystyle forall A exists D forall c {igl (}cin DLeftrightarrow exists a (ain A land cin a){igr )}} существование объединения элементов множества. D = ∪ a i , A = { a i } {displaystyle D=cup a_{i},A={a_{i}}}
  • ∀ A   ∃ D   ∀ b   ( b ∈ D ⇔ ∀ a   ( a ∈ A ⇒ b ∈ a ) ) {displaystyle forall A exists D forall b {igl (}bin DLeftrightarrow forall a (ain ARightarrow bin a){igr )}} существование пересечения элементов множества. D = ∩ a i , A = { a i } {displaystyle D=cap a_{i},A={a_{i}}}
  • ∀ A   ∃ C   ∀ b   ( b ∈ C ⇔ b ∈ A   ∧   Φ [ b ] ) {displaystyle forall A exists C forall b {igl (}bin CLeftrightarrow bin A land Phi [b]{igr )}} существование подмножества, элементы которого удовлетворяют заданному свойству. C = { b : b ∈ A , Φ [ b ] } {displaystyle C={b:bin A,Phi [b]}}
  • ∃ A : ( ∅ ∈ A   ∧   ∀ b   ( b ∈ A ⇒ b ∪ { b } ∈ A ) ) {displaystyle exists Acolon {igl (}varnothing in A land forall b (bin ARightarrow bcup {b}in A){igr )}} существование бесконечного множества. A = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , . . . } {displaystyle A={varnothing ,{varnothing },{varnothing ,{varnothing }},...}}
  • ∀ x   ∃ ! y   ϕ [ x , y ] ⇒ ∀ A   ∃ D   ∀ c   ( c ∈ D ⇔ ∃ b   ( b ∈ A   ∧   ϕ [ b , c ] ) ) {displaystyle forall x exists !y phi [x,y]Rightarrow forall A exists D forall c {igl (}cin DLeftrightarrow exists b (bin A land phi [b,c]){igr )}} существования образа функции. D = ϕ ( A ) {displaystyle D=phi (A)}
  • ∀ A   ( A ≠ ∅   ∧   ∀ b   ( b ∈ A ⇒ b ≠ ∅ )   ∧   ∀ b 1 ∀ b 2   ( b 1 ≠ b 2   ∧   { b 1 , b 2 } ⊆ a ⇒ b 1 ∩ b 2 = ∅ ) {displaystyle forall A {Bigl (}A eq varnothing land forall b (bin ARightarrow b eq varnothing ) land forall b_{1}forall b_{2} (b_{1} eq b_{2} land {b_{1},b_{2}}subseteq aRightarrow b_{1}cap b_{2}=varnothing )} ⇒ ∃ D ∀ b   ( b ∈ A → ∃ c   ( b ∩ D = { c } ) ) ) {displaystyle Rightarrow exists Dforall b {igl (}bin A o exists c (bcap D={c}){igr )}{Bigr )}} для любого класса не пересекающихся непустых множеств существует множество, содержащее по одному элементу из каждого множества (аксиома выбора). Не точно: D = { c i : c i ∈ b i , i ∈ I } , A = { b i : i ∈ I } {displaystyle D={c_{i}:c_{i}in b_{i},iin I},A={b_{i}:iin I}}
  • ∀ A   ( A ≠ ∅ ⇒ ∃ b   ( b ∈ A   ∧   ∀ c   ( c ∈ b ⇒ c ∉ A ) ) ) {displaystyle forall A {Bigl (}A eq varnothing Rightarrow exists b {igl (}bin A land forall c (cin bRightarrow c otin A){igr )}{Bigr )}} Любой непустой класс a {displaystyle a} содержит в себе множество b {displaystyle b} , все элементы которого не являются элементами класса A {displaystyle A} (аксиома регулярности). Не точно: ∃ b ∈ A : b ∩ A = ∅ {displaystyle exists bin A:bcap A=varnothing }
  • Перечисление дано по книге Френкель А. А., Бар-Хиллел И. «Основания теории множеств».

    Можно ввести аксиому номер 0 о существовании пустого множества ∃ a : ∀ b   ( b ∉ a ) {displaystyle exists acolon forall b (b otin a)} , но это не более чем обозначение. Важна лишь единственность пустого множества, а она выводится из аксиом 1-5. Под множеством {a} следует понимать пару {a, a}.

    В обсуждаемой статье приведены 10 высказываний (включая аксиому пустого множества), которые можно сгруппировать следующим образом.

    Пояснение к аксиомам ZFC

    Аксиомы ZFC включают в себя:

    0) группу высказываний о равенстве множеств (аксиома 1),

    1) группу высказываний о существовании множеств (аксиомы 0, 6),

    2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (аксиомы 2, 3, 4 и схемы 5, 7), в которой можно выделить три подгруппы,

    3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (аксиомы 8, 9).

    0. Критерий равенства множеств в ZFC

    Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.

    Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)

    ∀ a 1 ∀ a 2   ( ∀ b   ( b ∈ a 1 ↔ b ∈ a 2 ) → a 1 = a 2 ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} (forall b (bin a_{1}leftrightarrow bin a_{2}) o a_{1}=a_{2})}

    Примечание

    «Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»

    Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид ∀ a 1 ∀ a 2   ( a 1 = a 2 → ∀ b   ( b ∈ a 1 ↔ b ∈ a 2 ) ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} (a_{1}=a_{2} o forall b (bin a_{1}leftrightarrow bin a_{2}))} и выводится из аксиом предиката = {displaystyle =} , а именно:

    ∀ a   ( a = a ) {displaystyle forall a (a=a)} , ∀ a 1 ∀ a 2   ( a 1 = a 2 → ( φ [ a 1 ] → φ [ a 2 ] ) ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} (a_{1}=a_{2} o (varphi [a_{1}] o varphi [a_{2}]))} , где φ [ a 1 ] {displaystyle varphi [a_{1}]} — любое математически корректное суждение об a 1 {displaystyle a_{1}} , а φ [ a 2 ] {displaystyle varphi [a_{2}]} — то же самое суждение, но об a 2 {displaystyle a_{2}} .

    Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

    ∀ a 1 ∀ a 2   ( a 1 = a 2 ↔ ∀ b   ( b ∈ a 1 ↔ b ∈ a 2 )   ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} (a_{1}=a_{2}leftrightarrow forall b (bin a_{1}leftrightarrow bin a_{2}) )}

    1. Аксиомы ZFC о существовании множеств

    «Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

    Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

    1.0 Аксиома пустого множества

    ∃ a ∀ b   ( b ∉ a ) {displaystyle exists aforall b (b otin a)}

    Примечание

    «Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

    Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ∃ ! a ∀ b   ( b ∉ a ) {displaystyle exists !aforall b (b otin a)} . Поэтому единственному множеству a {displaystyle a} можно присвоить имя. Употребительны два имени: ∅ {displaystyle varnothing } и { } {displaystyle {}} . Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

    ∀ b   ( b ∉ ∅ ) {displaystyle forall b (b otin varnothing )} и ∀ b   ( b ∉ { } ) {displaystyle forall b (b otin {})}

    1.1 Аксиома бесконечности

    ∃ a   ( ∅ ∈ a   ∧   ∀ b   ( b ∈ a → b ∪ { b } ∈ a )   ) {displaystyle exists a (varnothing in a land forall b (bin a o bcup {b}in a) )} , где b ∪ { b } = { c : c ∈ b   ∨   c = b } {displaystyle bcup {b}={ccolon cin b lor c=b}}

    Примечание

    «Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из ∅ ,     ∅ ∪ { ∅ } ,     ∅ ∪ { ∅ } ∪ { ∅ ∪ { ∅ } } ,   … {displaystyle varnothing , varnothing cup {varnothing }, varnothing cup {varnothing }cup {varnothing cup {varnothing }}, ldots } .»

    Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» ( ∃ a ∀ b   ( b ∈ a ) {displaystyle exists aforall b (bin a)} ).

    2. Аксиомы ZFC об образовании множеств

    Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая ∅ {displaystyle varnothing } и по меньшей мере одну ∞ {displaystyle infty } ].

    Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания ∀ a ∃ b   ( b = φ [ a ] ) {displaystyle forall aexists b (b=varphi [a])} , которое выводится из аксиом предиката = {displaystyle =} .

    Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

    2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

    2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

    2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

    2.0. Постулат об образовании множеств путём перечисления их элементов: Аксиома пары

    Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката = {displaystyle =} .

    2.0 Аксиома пары

    ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b = a 1   ∨   b = a 2 ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2}exists cforall b (bin cleftrightarrow b=a_{1} lor b=a_{2})} , что есть ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ c   ( c = { b : b = a 1   ∨   b = a 2 } ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2}exists c (c={bcolon b=a_{1} lor b=a_{2}})}

    Примечание

    «Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество c {displaystyle c} , каждый элемент b {displaystyle b} которого идентичен данному множеству a 1 {displaystyle a_{1}} или данному множеству a 2 {displaystyle a_{2}} ».

    Примеры 1.   a 1 = 0   ∧   a 2 = 1 ⇒ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b = 0   ∨   b = 1 ) {displaystyle 1. a_{1}=0 land a_{2}=1Rightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow b=0 lor b=1)} 2.   a 1 = ∅   ∧   a 2 = { ∅ } ⇒ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b = ∅   ∨   b = { ∅ }   ) {displaystyle 2. a_{1}=varnothing land a_{2}={varnothing }Rightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow b=varnothing lor b={varnothing } )}

    Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ ! c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b = a 1   ∨   b = a 2 ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2}exists !cforall b (bin cleftrightarrow b=a_{1} lor b=a_{2})} . Поэтому единственному множеству c {displaystyle c} можно присвоить имя { a 1 , a 2 } {displaystyle {a_{1},a_{2}}} . Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

    ∀ a 1 ∀ a 2 ∀ b   ( b ∈ { a 1 , a 2 } ↔ b = a 1   ∨   b = a 2 ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2}forall b (bin {a_{1},a_{2}}leftrightarrow b=a_{1} lor b=a_{2})} или ∀ a 1 ∀ a 2   ( { a 1 , a 2 } = { b : b = a 1   ∨   b = a 2 } ) {displaystyle forall a_{1}forall a_{2} ({a_{1},a_{2}}={bcolon b=a_{1} lor b=a_{2}})}

    2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств

    Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

    Известно, что каждое множество z {displaystyle z} имеет подмножества, включая [копию пустого множества] ∅ {displaystyle varnothing } и [копию самого множества] z {displaystyle z} . Иначе говоря,

    ∀ z ∃ x ∃ y   ( x ⊆ z   ∧   y ⊆ z ) ∧ ∀ z   ( ∅ ⊆ z   ∧   z ⊆ z ) {displaystyle forall zexists xexists y (xsubseteq z land ysubseteq z)quad land quad forall z (varnothing subseteq z land zsubseteq z)} .

    Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару { ∅ , z } {displaystyle {varnothing ,z}} . Назовём эту пару семейством F a m 2 ( z ) {displaystyle Fam_{2}(z)} .

    Если можно образовать семейство F a m 2 ( z ) {displaystyle Fam_{2}(z)} из двух подмножеств множества z {displaystyle z} , тогда можно объявить об образовании семейства F a m a ( z ) {displaystyle Fam_{a}(z)} из всех подмножеств множества z {displaystyle z} .

    Чтобы объявить об образовании семейства F a m a ( z ) {displaystyle Fam_{a}(z)} достаточно потребовать, чтобы каждый элемент b {displaystyle b} названного семейства был подмножеством множества z {displaystyle z} , а каждое подмножество b {displaystyle b} названного множества было элементом семейства F a m a ( z ) {displaystyle Fam_{a}(z)} . Иначе говоря, ∀ b   ( b ∈ F a m a ( z ) → b ⊆ z )   ∧   ∀ b   ( b ⊆ z → b ∈ F a m a ( z )   ) {displaystyle forall b (bin Fam_{a}(z) o bsubseteq z) land forall b (bsubseteq z o bin Fam_{a}(z) )} , что равносильно предложению ∀ b   ( b ∈ F a m a ( z ) ↔ b ⊆ z ) {displaystyle forall b (bin Fam_{a}(z)leftrightarrow bsubseteq z)} , которое подразумевает предложение ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ⊆ z ) {displaystyle exists dforall b (bin dleftrightarrow bsubseteq z)} , которое является частным случаем высказывания ∀ a ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {displaystyle forall aexists dforall b (bin dleftrightarrow bsubseteq a)} .

    Если можно объявить об учреждении семейства F a m a ( z ) {displaystyle Fam_{a}(z)} , тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

    Мыслимы различные способы упразднения семейства F a m a ( z ) {displaystyle Fam_{a}(z)} , включая: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть D e l ( F a m a ( z ) ) = ∅ {displaystyle Del(Fam_{a}(z))=varnothing } , что равносильно ∀ c   ( c ∈ D e l ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ ∅ ) {displaystyle forall c (cin Del(Fam_{a}(z))leftrightarrow cin varnothing )} , 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть F i c ( F a m a ( z ) ) = F a m a ( z ) {displaystyle Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)} , что равносильно ∀ c   ( c ∈ F i c ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ F a m a ( z ) ) {displaystyle forall c (cin Fic(Fam_{a}(z))leftrightarrow cin Fam_{a}(z))} , 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть R e v ( F a m a ( z ) ) = z {displaystyle Rev(Fam_{a}(z))=z} , что равносильно ∀ c   ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ z ) {displaystyle forall c (cin Rev(Fam_{a}(z))leftrightarrow cin z)} . Поскольку c ∈ z ⇔ { c } ∈ F a m a ( z ) ⇔ ∃ b   ( b = { c }   ∧   b ∈ F a m a ( z ) ) ⇔ ∃ b   ( c ∈ b   ∧   b ∈ F a m a ( z ) ) {displaystyle cin zLeftrightarrow {c}in Fam_{a}(z)Leftrightarrow exists b (b={c} land bin Fam_{a}(z))Leftrightarrow exists b (cin b land bin Fam_{a}(z))} , постольку предложение ∀ c   ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ z ) {displaystyle forall c (cin Rev(Fam_{a}(z))leftrightarrow cin z)} равносильно предложению ∀ c   ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ ∃ b   ( c ∈ b   ∧   b ∈ F a m a ( z ) )   ) {displaystyle forall c (cin Rev(Fam_{a}(z))leftrightarrow exists b (cin b land bin Fam_{a}(z)) )} , которое подразумевает предложение ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( c ∈ b   ∧   b ∈ F a m a ( z ) )   ) {displaystyle exists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (cin b land bin Fam_{a}(z)) )} , которое является частным случаем высказывания ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( c ∈ b   ∧   b ∈ a )   ) {displaystyle forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (cin b land bin a) )} .

    Из изложенного следует, что высказывания ∀ a ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {displaystyle forall aexists dforall b (bin dleftrightarrow bsubseteq a)} и ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( c ∈ b   ∧   b ∈ a )   ) {displaystyle forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (cin b land bin a) )} можно считать независимыми условно.

    2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана) ∀ a ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {displaystyle forall aexists dforall b (bin dleftrightarrow bsubseteq a)} , что есть ∀ a ∃ d   ( d = { b : b ⊆ a } ) {displaystyle forall aexists d (d={bcolon bsubseteq a})} , где b ⊆ a ⇔ ∀ c   ( c ∈ b → c ∈ a ) {displaystyle bsubseteq aLeftrightarrow forall c (cin b o cin a)}

    Примечание

    «Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества a {displaystyle a} можно образовать „суперкучу“, то есть множество d {displaystyle d} , состоящее из (собственных либо несобственных) подмножеств b {displaystyle b} данного множества a {displaystyle a} .»

    Примеры 1.   a = ∅ ⇒ ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ } ) {displaystyle 1. a=varnothing Rightarrow exists dforall b (bin dleftrightarrow bin {varnothing })} , так как ∀ a   ( ∅ ⊆ a ∧ a ⊆ a ) {displaystyle forall a (varnothing subseteq aland asubseteq a)} 2.   a = { ∅ } ⇒ ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { ∅ } } ) ⇔ ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b = ∅   ∨   b = { ∅ } ) {displaystyle 2. a={varnothing }Rightarrow exists dforall b (bin dleftrightarrow bin {varnothing ,{varnothing }})Leftrightarrow exists dforall b (bin dleftrightarrow b=varnothing lor b={varnothing })} 3.   a = { 1 , 2 , 3 } ⇒ ∃ d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } ) {displaystyle 3. a={1,2,3}Rightarrow exists dforall b (bin dleftrightarrow bin {varnothing ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}})} 4.   a = { a 1 , a 2 } ⇒ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { a 1 } , { a 2 } , { a 1 , a 2 } } ) {displaystyle 4. a={a_{1},a_{2}}Rightarrow exists dforall b(bin dleftrightarrow bin {varnothing ,{a_{1}},{a_{2}},{a_{1},a_{2}}})}

    Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! d ∀ b   ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {displaystyle forall aexists !dforall b (bin dleftrightarrow bsubseteq a)} . Поэтому единственному множеству d {displaystyle d} можно присвоить имя P ( a ) {displaystyle {mathcal {P}}(a)} , которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] a {displaystyle a} » или «булеан [множества] a {displaystyle a} ». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

    ∀ a ∀ b   ( b ∈ P ( a ) ↔ b ⊆ a ) {displaystyle forall aforall b (bin {mathcal {P}}(a)leftrightarrow bsubseteq a)} или ∀ a   ( P ( a ) = { b : b ⊆ a } ) {displaystyle forall a ({mathcal {P}}(a)={bcolon bsubseteq a})} 2.1.1 Аксиома объединения ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c ∈ b )   ) {displaystyle forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin a land cin b) )} , что есть ∀ a ∃ d   ( d = { c : ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c ∈ b ) } ) {displaystyle forall aexists d (d={ccolon exists b (bin a land cin b)})}

    Примечание

    Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество d {displaystyle d} , каждый элемент c {displaystyle c} которого принадлежит по меньшей мере одному множеству b {displaystyle b} данного семейства a {displaystyle a} ».

    Примеры 1.   a = P ( ∅ ) = { ∅ } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ ∅ ) {displaystyle 1. a={mathcal {P}}(varnothing )={varnothing }Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin varnothing )} 2.   a = P ( P ( ∅ ) ) = { ∅ , { ∅ } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ P ( ∅ )   ) ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { ∅ } ) {displaystyle 2. a={mathcal {P}}({mathcal {P}}(varnothing ))={varnothing ,{varnothing }}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {mathcal {P}}(varnothing ) )Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {varnothing })} 3.   a = { b 1 , b 2 , b 3 } = { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 3 } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 } ∨ c ∈ { 1 , 2 } ∨ c ∈ { 3 } )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } ) {displaystyle {egin{aligned}3. a={b_{1},b_{2},b_{3}}={{0,1},{1,2},{3}}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {0,1}lor cin {1,2}lor cin {3}) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {0,1,2,3})end{aligned}}} 4.   a = { b , { b } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ b ∪ { b } ) ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ b   ∨   c = b ) {displaystyle 4. a={b,{b}}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin bcup {b})Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin b lor c=b)} 5.   a = ( a 1 , a 2 ) = { { a 1 } , { a 1 , a 2 } } = { { a 1 , a 1 } , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { a 1 , a 2 } ) {displaystyle 5. a=(a_{1},a_{2})={{a_{1}},{a_{1},a_{2}}}={{a_{1},a_{1}},{a_{1},a_{2}}}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {a_{1},a_{2}})} 6.   a = ⟨ a 1 , a 2 ⟩ = { a 1 , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ a 1 ∪ { a 1 , a 2 } ) {displaystyle 6. a=langle a_{1},a_{2} angle ={a_{1},{a_{1},a_{2}}}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin a_{1}cup {a_{1},a_{2}})} 7.   a = P ( { a 1 , a 2 } ) = { ∅ , { a 1 } , { a 2 } , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { a 1 , a 2 } ) {displaystyle 7. a={mathcal {P}}({a_{1},a_{2}})={varnothing ,{a_{1}},{a_{2}},{a_{1},a_{2}}}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {a_{1},a_{2}})}

    Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c ∈ b )   ) {displaystyle forall aexists !dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin a land cin b) )} . Поэтому единственному множеству d {displaystyle d} можно присвоить имя ∪ a {displaystyle cup ,a} , которое произносится: «объединение множеств семейства a {displaystyle a} ». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

    ∀ a ∀ c   ( c ∈ ∪ a ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c ∈ b )   ) {displaystyle forall aforall c (cin cup aleftrightarrow exists b (bin a land cin b) )} или ∀ a   ( ∪ a = { c : ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c ∈ b ) }   ) {displaystyle forall a (cup a={ccolon exists b (bin a land cin b)} )} .

    Объединение множеств семейства a {displaystyle a} ( ∪ a {displaystyle cup a} ) не следует путать с пересечением множеств семейства a {displaystyle a} ( ∩ a {displaystyle cap a} ), о котором известно:

    ∀ a ∀ c   ( c ∈ ∩ a ↔ ∀ b   ( b ∈ a → c ∈ b ) {displaystyle forall aforall c (cin cap aleftrightarrow forall b (bin a o cin b)} , то есть ∀ a   ( ∩ a = { c : ∀ b   ( b ∈ a → c ∈ b ) } ) {displaystyle forall a (cap a={ccolon forall b (bin a o cin b)})}

    2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

    Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

    а) аксиому связи между алгебраической операцией + {displaystyle +} (сложить) и алгебраической операцией ⋅ {displaystyle cdot } (умножить)

    ∀ x ∀ y ∀ z   ( x ∈ R ∧   y ∈ R ∧ z ∈ R → ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z ) {displaystyle forall xforall yforall z (xin mathbb {R} land yin mathbb {R} land zin mathbb {R} o (x+y)cdot z=xcdot z+ycdot z)} ,

    б) аксиому связи между отношением порядка ≤ {displaystyle leq } (меньше или равно) и алгебраической операцией + {displaystyle +} (сложить)

    ∀ x ∀ y ∀ z   ( x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R → ( x ≤ y → x + z ≤ y + z ) ) {displaystyle forall xforall yforall z (xin mathbb {R} land yin mathbb {R} land zin mathbb {R} o (xleq y o x+zleq y+z))}

    Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} ) и математически корректными суждениями (например, суждением x ≤ 0 {displaystyle xleq 0} ).

    «Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

    Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана.

    Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из [«неотёсанных»] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана.

    2.2.0 Схема выделения ∀ a ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   Φ [ b ]   ) {displaystyle forall aexists cforall b (bin cleftrightarrow bin a land Phi [b] )} , что есть ∀ a ∃ c   ( c = { b : b ∈ a   ∧   Φ [ b ] }   ) {displaystyle forall aexists c (c={bcolon bin a land Phi [b]} )} , где Φ [ b ] {displaystyle Phi [b]} — любое математически корректное суждение о b {displaystyle b} , но не о множестве a {displaystyle a} и не о множестве c {displaystyle c} .

    Примечание

    Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c {displaystyle c} , высказав суждение Φ {displaystyle Phi } о каждом элементе b {displaystyle b} данного множества a {displaystyle a} .»

    Примеры 1.   ( Φ [ x ] ↔ x = x ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   b = b ) {displaystyle 1. (Phi [x]leftrightarrow x=x)Rightarrow forall aexists cforall b (bin cleftrightarrow bin a land b=b)} 2.   ( Φ [ x ] ↔ x ≠ x ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   b ≠ b ) {displaystyle 2. (Phi [x]leftrightarrow x eq x)Rightarrow forall aexists cforall b (bin cleftrightarrow bin a land b eq b)} 3.   ( Φ [ x ] ↔ x ∈ y ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   b ∈ y ) {displaystyle 3. (Phi [x]leftrightarrow xin y)Rightarrow forall aexists cforall b (bin cleftrightarrow bin a land bin y)} 4.   ( Φ [ x ] ↔ x ∉ y ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   b ∉ y ) {displaystyle 4. (Phi [x]leftrightarrow x otin y)Rightarrow forall aexists cforall b (bin cleftrightarrow bin a land b otin y)} 5.   ( Φ [ x ] ↔ x < 2 )   ∧   a = N ⇒ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ N   ∧   b < 2 ) ⇔ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ { 0 , 1 } ) {displaystyle 5. (Phi [x]leftrightarrow x<2) land a=mathbb {N} Rightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow bin mathbb {N} land b<2)Leftrightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow bin {0,1})} 6.   ( Φ [ x ] ↔ ∃ k   ( k ∈ N ∧ x = 2 k ) ) ∧ a = N ⇒ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ N ∧ ∃ k   ( k ∈ N ∧ b = 2 k ) )   ⇔ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , … } ) {displaystyle {egin{aligned}6. (Phi [x]leftrightarrow exists k (kin mathbb {N} land x=2k))land a=mathbb {N} Rightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow bin mathbb {N} land exists k (kin mathbb {N} land b=2k)) Leftrightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow bin {0,2,4,6,ldots })end{aligned}}} 7.   ( Φ [ x ]   ↔   ∃ u ∃ v   ( u ∈ U   ∧   v ∈ V   ∧   x = ( u , v )   )   ) ∧ a = P ( P ( U ∪ V ) )   ⇒ ∃ c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ P ( P ( U ∪ V ) )   ∧   ∃ u ∃ v   ( u ∈ U ∧ v ∈ V ∧ b = ( u , v ) ) ) {displaystyle {egin{aligned}7. (Phi [x] leftrightarrow exists uexists v (uin U land vin V land x=(u,v) ) )quad land quad a={mathcal {P}}({mathcal {P}}(Ucup V)) Rightarrow exists cforall b (bin cleftrightarrow bin {mathcal {P}}({mathcal {P}}(Ucup V)) land exists uexists v (uin Uland vin Vland b=(u,v)))end{aligned}}}

    Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! c ∀ b   ( b ∈ c ↔ b ∈ a   ∧   Φ [ b ]   ) {displaystyle forall aexists !cforall b (bin cleftrightarrow bin a land Phi [b] )} . Поэтому единственному подмножеству c {displaystyle c} можно присвоить имя { x : x ∈ a ∧ Φ [ x ] } {displaystyle {xcolon xin aland Phi [x]}} . Используя указанное имя, схему выделения записывают так:

    ∀ a ∀ b   ( b ∈ { x : x ∈ a ∧ Φ [ x ] } ↔ b ∈ a   ∧   Φ [ b ]   ) {displaystyle forall aforall b (bin {xcolon xin aland Phi [x]}leftrightarrow bin a land Phi [b] )} или ∀ a ( { x : x ∈ a   ∧   Φ [ x ] } = { b : b ∈ a   ∧   Φ [ b ] } {displaystyle forall a({xcolon xin a land Phi [x]}={bcolon bin a land Phi [b]}}

    Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

    2.2.1 Схема преобразования ∀ x ∃ ! y   ( ϕ [ x , y ] )   →   ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   ϕ [ b , c ]   )   ) {displaystyle forall xexists !y (phi [x,y]) o forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin a land phi [b,c] ) )} , что есть ∀ x ∃ ! y   ( ϕ [ x , y ] )   →   ∀ a ∃ d   ( d = { c : ∃ b   ( b ∈ a   ∧   ϕ [ b , c ] ) }   ) {displaystyle forall xexists !y (phi [x,y]) o forall aexists d (d={ccolon exists b (bin a land phi [b,c])} )}

    Примечание

    Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество d {displaystyle d} , высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение ϕ {displaystyle phi } обо всех элементах b {displaystyle b} данного множества a {displaystyle a} .»

    Примеры 1.   ( ϕ [ x , y ] ↔ y = x ) ⇒ ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c = b ) ) ⇔ ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ a ) {displaystyle 1. (phi [x,y]leftrightarrow y=x)Rightarrow forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin a land c=b))Leftrightarrow forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow cin a)} 2.   ( ϕ [ x , y ] ↔ y = x 2 )   ∧   a = { 1 , 2 , 3 } ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ { 1 , 2 , 3 }   ∧   c = b 2 ) )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 1 , 4 , 9 } ) {displaystyle {egin{aligned}2. (phi [x,y]leftrightarrow y=x^{2}) land a={1,2,3}Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin {1,2,3} land c=b^{2})) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {1,4,9})end{aligned}}} 3.   ( ϕ [ x , y ] ↔ y = f ( x ) ) ⇒ ∀ a ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   c = f ( b )   )   ) {displaystyle 3. (phi [x,y]leftrightarrow y=f(x))Rightarrow forall aexists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin a land c=f(b) ) )} 4.   ( ϕ [ x , y ] ↔ ( x = ∅ → y = a 1 ) ∧ ( x ≠ ∅ → y = a 2 )   ) ∧ a = P ( P ( ∅ ) ) = { ∅ , { ∅ } }   ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ { ∅ , { ∅ } } ∧ ( b = ∅ → c = a 1 ) ∧ ( b ≠ ∅ → c = a 2 )   ) )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c = a 1   ∨   c = a 2 ) {displaystyle {egin{aligned}4. (phi [x,y]leftrightarrow (x=varnothing o y=a_{1})land (x eq varnothing o y=a_{2}) )quad land quad a={mathcal {P}}({mathcal {P}}(varnothing ))={varnothing ,{varnothing }} Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin {varnothing ,{varnothing }}land (b=varnothing o c=a_{1})land (b eq varnothing o c=a_{2}) )) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow c=a_{1} lor c=a_{2})end{aligned}}} 5.   ( ϕ [ x , y ] ↔ y = 2 x )   ∧   a = N ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ N ∧ c = 2 b ) )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , … } ) {displaystyle {egin{aligned}5. (phi [x,y]leftrightarrow y=2x) land a=mathbb {N} Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin mathbb {N} land c=2b)) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {0,2,4,6,ldots })end{aligned}}} 6.   ( ϕ [ x , y ] ↔ y = 2 x + 1 )   ∧   a = N ⇒ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ ∃ b   ( b ∈ N ∧ c = 2 b + 1 ) )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 1 , 3 , 5 , 7 , … } ) {displaystyle {egin{aligned}6. (phi [x,y]leftrightarrow y=2x+1) land a=mathbb {N} Rightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow exists b (bin mathbb {N} land c=2b+1)) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {1,3,5,7,ldots })end{aligned}}} 7.   ( ϕ [ x , y ] ↔ ( x ∈ N   ∧   x < 2 → y = x )   ∧   ( x ∈ N   ∧   ¬ ( x < 2 ) → y = 1 ) ) ∧ a = N   ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ N   ∧   ( b ∈ N ∧ b < 2 → c = b )   ∧   ( b ∈ N ∧ ¬ ( b < 2 ) → c = 1 ) ) )   ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ N   ∧   c < 2 ) ⇔ ∃ d ∀ c   ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 } ) {displaystyle {egin{aligned}7. (phi [x,y]leftrightarrow (xin mathbb {N} land x<2 o y=x) land (xin mathbb {N} land eg (x<2) o y=1))quad land quad a=mathbb {N} Rightarrow exists dforall c(cin dleftrightarrow exists b(bin mathbb {N} land (bin mathbb {N} land b<2 o c=b) land (bin mathbb {N} land eg (b<2) o c=1))) Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin mathbb {N} land c<2)Leftrightarrow exists dforall c (cin dleftrightarrow cin {0,1})end{aligned}}}

    Доказывается, что в схеме преобразования множество d {displaystyle d} единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя { y : ∃ x   ( x ∈ a   ∧   ϕ [ x , y ] ) } {displaystyle {ycolon exists x (xin a land phi [x,y])}} . Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

    ∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ∀ c   ( c ∈ { y : ∃ x   ( x ∈ a   ∧   ϕ [ x , y ] ) } ↔ ∃ b   ( b ∈ a   ∧   ϕ [ b , c ] )   ) {displaystyle forall xexists !y(phi [x,y]) o forall aforall c (cin {ycolon exists x (xin a land phi [x,y])}leftrightarrow exists b (bin a land phi [b,c]) )} или ∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ( { y : ∃ x   ( x ∈ a   ∧   ϕ [ x , y ] ) } = { c : ∃ b   ( b ∈ a   ∧   ϕ [ b , c ] ) }   ) {displaystyle forall xexists !y(phi [x,y]) o forall a({ycolon exists x (xin a land phi [x,y])}={ccolon exists b (bin a land phi [b,c])} )}

    Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

    3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

    Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из ∅ {displaystyle varnothing } и каждой ∞ {displaystyle infty } с помощью аксиом образования множеств.

    3.0 Аксиома регулярности

    ∀ a   ( a ≠ ∅ → ∃ b   ( b ∈ a   ∧   ∀ c   ( c ∈ b → c ∉ a )   )   ) {displaystyle forall a (a eq varnothing o exists b (bin a land forall c (cin b o c otin a) ) )}

    Примечание

    «Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество b {displaystyle b} , каждый элемент c {displaystyle c} которого не принадлежит данному семейству a {displaystyle a} .»

    Примеры 1.   a = { x } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b   ( b ∈ { x } ∧ ∀ c   ( c ∈ b → c ∉ { x } )   )   ⇔ ∃ b   ( b ∈ { x } ∧ ∀ c   ( c ∈ { x } → c ∉ b ) ) ⇒ ∀ x ( x ∉ x )   ⇔ ∀ a ( a ∉ a ) ⇔ ∀ a ∀ b   ( a ∈ b   ∨   b ∈ a → a ≠ b ) {displaystyle {egin{aligned}1. a={x}Rightarrow a eq varnothing Rightarrow exists b (bin {x}land forall c (cin b o c otin {x}) ) Leftrightarrow exists b (bin {x}land forall c (cin {x} o c otin b))Rightarrow forall x(x otin x) Leftrightarrow forall a(a otin a)Leftrightarrow forall aforall b (ain b lor bin a o a eq b)end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a   ( a = a ) {displaystyle forall a (a=a)} и ∀ a   ( a ≮ a ) {displaystyle forall a (a ot <a)} , а также ∀ a ∀ b   ( a < b   ∨   b < a → a ≠ b ) {displaystyle forall aforall b (a<b lor b<a o a eq b)} . 2.   a = { x , y } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b   ( b ∈ { x , y }   ∧   ∀ c   ( c ∈ b → c ∉ { x , y } ) )   ⇒ ∀ x ∀ y   ( x ∈ y → y ∉ x )   ⇔ ∀ a ∀ b   ( a ∈ b → b ∉ a ) {displaystyle {egin{aligned}2. a={x,y}Rightarrow a eq varnothing Rightarrow exists b (bin {x,y} land forall c (cin b o c otin {x,y})) Rightarrow forall xforall y (xin y o y otin x) Leftrightarrow forall aforall b (ain b o b otin a)end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a ∀ b   ( a = b → b = a ) {displaystyle forall aforall b (a=b o b=a)} и ∀ a ∀ b   ( a < b → b ≮ a ) {displaystyle forall aforall b (a<b o b ot <a)} . 3.   a = { x , y , z } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b   ( b ∈ { x , y , z } ∧ ∀ c   ( c ∈ b → c ∉ { x , y , z } ) )   ⇒ ∀ a ∀ b ∀ c   ( a ∈ b ∧ b ∈ c → c ∉ a ) {displaystyle {egin{aligned}3. a={x,y,z}Rightarrow a eq varnothing Rightarrow exists b (bin {x,y,z}land forall c (cin b o c otin {x,y,z})) Rightarrow forall aforall bforall c (ain bland bin c o c otin a)end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a ∀ b ∀ c   ( a = b ∧ b = c → c = a ) {displaystyle forall aforall bforall c (a=bland b=c o c=a)} и ∀ a ∀ b ∀ c   ( a < b ∧ b < c → c ≮ a ) {displaystyle forall aforall bforall c (a<bland b<c o c ot <a)} .

    3.1 Аксиома выбора

    ∀ a   ( a ≠ ∅ ∧ ∀ b   ( b ∈ a → b ≠ ∅ ) ∧ ∀ b 1 ∀ b 2   ( b 1 ≠ b 2 ∧ { b 1 , b 2 } ⊆ a → b 1 ∩ b 2 = ∅ )   → ∃ d ∀ b   ( b ∈ a → ∃ c   ( b ∩ d = { c } )   )   ) {displaystyle {egin{aligned}forall a (a eq varnothing land forall b (bin a o b eq varnothing )land forall b_{1}forall b_{2} (b_{1} eq b_{2}land {b_{1},b_{2}}subseteq a o b_{1}cap b_{2}=varnothing ) o exists dforall b (bin a o exists c (bcap d={c}) ) )end{aligned}}}

    Примечание

    «Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество d {displaystyle d} , в котором есть по одному элементу c {displaystyle c} от каждого множества b {displaystyle b} данного семейства a {displaystyle a} .»

    Пример Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно: 1. { { 0 , 2 , 4 , … } ,   { 1 , 3 , 5 , … } } ≠ ∅ {displaystyle 1.quad {{0,2,4,ldots }, {1,3,5,ldots }} eq varnothing } , 2. { 0 , 2 , 4 , … } ≠ ∅ ∧ { 1 , 3 , 5 , … } ≠ ∅ {displaystyle 2.quad {0,2,4,ldots } eq varnothing quad land quad {1,3,5,ldots } eq varnothing } , 3. { 0 , 2 , 4 , … }   ∩   { 1 , 3 , 5 , … } = ∅ {displaystyle 3.quad {0,2,4,ldots } cap {1,3,5,ldots }=varnothing } . Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества { 0 , 2 , 4 , … } {displaystyle {0,2,4,ldots }} и одного «делегата» (например, числа один) от множества { 1 , 3 , 5 , … } {displaystyle {1,3,5,ldots }} . Действительно: { 0 , 2 , 4 , … }   ∩   { 0 , 1 } = { 0 } {displaystyle {0,2,4,ldots } cap {0,1}={0}} . { 1 , 3 , 5 , … }   ∩   { 0 , 1 } = { 1 } {displaystyle {1,3,5,ldots } cap {0,1}={1}} .