Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Магический шестиугольник

07.03.2021

Магический шестиугольник или магический гексагон порядка n {displaystyle n} — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной n {displaystyle n} таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе M . {displaystyle M.}

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка n = 1 {displaystyle n=1} (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или n = 3 {displaystyle n=3} и может содержать числа от единицы до 3 n 2 − 3 n + 1. {displaystyle 3n^{2}-3n+1.} Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка n = 3. {displaystyle n=3.}

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, возможно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году.

Доказательство единственности

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка n = 1 {displaystyle n=1} и n = 3. {displaystyle n=3.}

Вычислим магическую константу M . {displaystyle M.} С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до 3 n 2 − 3 n + 1 {displaystyle 3n^{2}-3n+1} (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелепипеда). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

S = 3 n 2 − 3 n + 1 2 ( 3 n 2 − 3 n + 2 ) . {displaystyle S={cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).}

С другой стороны, есть 2 n − 1 {displaystyle 2n-1} рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна M , {displaystyle M,} то во всём шестиугольнике будет S = M ( 2 n − 1 ) . {displaystyle S=M(2n-1).}

Приравняв суммы, получим, что

32 M = 72 n 3 − 108 n 2 + 90 n − 27 + 5 2 n − 1 {displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{cfrac {5}{2n-1}}}

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, 5 2 n − 1 {displaystyle {cfrac {5}{2n-1}}} — это целое число, что возможно только при n = 1 {displaystyle n=1} и n = 3. {displaystyle n=3.}

QED.

Аномальные магические шестиугольники

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от n = 3 {displaystyle n=3} не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.


Магический гексагон порядка n = 6 {displaystyle n=6} , начинающийся с 21 {displaystyle 21} и кончающийся 111 {displaystyle 111} ( M = 546 {displaystyle M=546} ) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка n = 7 {displaystyle n=7} , начинающийся с 2 и кончающийся 128 ( M = 635 {displaystyle M=635} ) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон подярка n = 8 {displaystyle n=8} , начинающийся с −84 и кончающийся 84 ( M = 0 {displaystyle M=0} ) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.