Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Систолическое неравенство

07.03.2021

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

sys ⁡ M ⩽ c n ⋅ vol ⁡ M n , {displaystyle operatorname {sys} Mleqslant c_{n}cdot {sqrt[{n}]{operatorname {vol} M}},}

где M {displaystyle M} есть замкнутое n {displaystyle n} -мерное риманово многообразие в определённом классе, sys ⁡ M {displaystyle operatorname {sys} M} — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на M {displaystyle M} (так называемая систола M {displaystyle M} ) и vol ⁡ M {displaystyle operatorname {vol} M} — его объём.

Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многобразий конформно эквивалентных данному.

Для многих топологических типов многообразии, например для произведения сферы и окружности S 2 × S 1 {displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{1}} систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на S 2 × S 1 {displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{1}} с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.

Примеры

  • Неравенство Левнера — оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора T 2 {displaystyle mathbb {T} ^{2}} с константой 2 3 4 {displaystyle { frac {sqrt {2}}{sqrt[{4}]{3}}}} .
  • Неравенство Пу — оптимальное систолическое неравенство для вещественной проективной плоскости R P 2 {displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{2}} с константой π 2 {displaystyle {sqrt { frac {pi }{2}}}} .
  • Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна π 2 3 / 4 {displaystyle { frac {sqrt {pi }}{2^{3/4}}}} .
  • Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики.
  • Неравенство Громова для существенных многообразий sys ⁡ M ⩽ c n ⋅ vol ⁡ M n , {displaystyle operatorname {sys} Mleqslant c_{n}cdot {sqrt[{n}]{operatorname {vol} M}},}
    • В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей.
    • Известно, что оптимальная константа c n {displaystyle c_{n}} не превосходит n ! n = n e + o ( n ) {displaystyle {sqrt[{n}]{n!}}={ frac {n}{e}}+o(n)} .
    • Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на c n {displaystyle c_{n}} , которая растёт как n {displaystyle {sqrt {n}}} ; возможно это и есть оптимальная константа.