Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





W-функция Ламберта

06.03.2021

W {displaystyle W} -функция Ламберта определяется как обратная функция к f ( w ) = w e w {displaystyle f(w)=we^{w}} , для комплексных w {displaystyle w} . Обозначается W ( x ) {displaystyle W(x)} или LambertW ⁡ ( x ) {displaystyle operatorname {LambertW} (x)} . Для любого комплексного z {displaystyle z} она определяется функциональным уравнением:

z = W ( z ) e W ( z ) {displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}

W {displaystyle W} -функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно».

Многозначность

Поскольку функция f ( w ) {displaystyle f(w)} не является инъективной на интервале ( − ∞ , 0 ) {displaystyle (-infty ,0)} , W ( z ) {displaystyle W(z)} является многозначной функцией на ( − 1 e , 0 ) {displaystyle (-{frac {1}{e}},0)} . Если ограничиться вещественными z = x ⩾ − 1 / e {displaystyle z=xgeqslant -1/e} и потребовать w ⩾ − 1 {displaystyle wgeqslant -1} , будет определена однозначная функция W 0 ( x ) {displaystyle W_{0}(x)} .

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

W ( z ) | z → ∞ = log ⁡ ( z ) − log ⁡ ( log ⁡ ( z ) ) {displaystyle left.W(z) ight|_{z o infty }=log(z)-log(log(z))}

W ( z ) | z → − 1 e = 2 ( e z + 1 ) − 1 {displaystyle left.W(z) ight|_{z o -{frac {1}{e}}}={sqrt {2(ez+1)}}-1}

Другие формулы

∫ 0 π W ( 2 cot 2 ⁡ ( x ) ) sec 2 ⁡ ( x ) d x = 4 π {displaystyle int _{0}^{pi }W{igl (}2cot ^{2}(x){igr )}sec ^{2}(x);mathrm {d} x=4{sqrt {pi }}} ∫ 0 + ∞ W ( 1 x 2 ) d x = 2 π {displaystyle int _{0}^{+infty }Wleft({frac {1}{x^{2}}} ight);mathrm {d} x={sqrt {2pi }}} ∫ 0 + ∞ W ( x ) x x d x = 2 2 π {displaystyle int _{0}^{+infty }{frac {W(x)}{x{sqrt {x}}}}mathrm {d} x=2{sqrt {2pi }}}

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при z ≠ − 1 e {displaystyle z eq -{ frac {1}{e}}} функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

d W d z = 1 z W ( z ) W ( z ) + 1 . {displaystyle {dW over dz}={frac {1}{z}}{frac {W(z)}{W(z)+1}}.}

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при | z | < 1 e {displaystyle |z|<{ frac {1}{e}}} :

W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n !   x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 8 3 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ . {displaystyle W_{0}(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-n)^{n-1}}{n!}} x^{n}=x-x^{2}+{frac {3}{2}}x^{3}-{frac {8}{3}}x^{4}+{frac {125}{24}}x^{5}-cdots .}

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

∫ W ( x ) d x = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {displaystyle int W(x),dx=xleft(W(x)-1+{frac {1}{W(x)}} ight)+C.}

Значения в некоторых точках

W ( − π 2 ) = i π 2 {displaystyle Wleft(-{frac {pi }{2}} ight)={frac {ipi }{2}}} W ( − 1 ) ≈ − 0.31813 − 1.33723 i {displaystyle W(-1)approx -0.31813-1.33723{ m {i}}} W ( − 1 e ) = − 1 {displaystyle Wleft(-{1 over e} ight)=-1} W ( − ln ⁡ a a ) = − ln ⁡ a {displaystyle Wleft(-{frac {ln a}{a}} ight)=-ln a} , при 1 e ≤ a ≤ e {displaystyle {frac {1}{e}}leq aleq e} W ( 0 ) = 0 {displaystyle W(0)=0} W ( e ) = 1 {displaystyle W(e)=1} W ( 1 ) = Ω ≈ 0,567 14329 {displaystyle W(1)=Omega approx 0{,}56714329} (постоянная Омега)

Формулы

W ( x e x ) = x , x > 0 {displaystyle W(xe^{x})=x,,x>0}

e n ⋅ W ( x ) = ( x W ( x ) ) n {displaystyle e^{ncdot W(x)}=left({frac {x}{W(x)}} ight)^{n}}

ln ⁡ W ( x ) = ln ⁡ x − W ( x ) , x > 0 {displaystyle ln W(x)=ln x-W(x),,x>0}

W ( n x n W ( x ) n − 1 ) = n W ( x ) , n > 0 , x > 0 {displaystyle Wleft({frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}} ight)=nW(x),,n>0,x>0}

W ( x ) + W ( y ) = W ( x y ( W ( x ) + W ( y ) W ( x ) W ( y ) ) ) , x > 0 , y > 0 {displaystyle W(x)+W(y)=Wleft(xyleft({frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}} ight) ight),,x>0,y>0}

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: x x = z {displaystyle x^{x}=z}

ln ⁡ z = x ln ⁡ x = e ln ⁡ x ln ⁡ x {displaystyle ln z=xln x=e^{ln x},ln x} , следовательно, x = e W ( ln ⁡ z ) {displaystyle x=e^{W(ln z)}} .

Пример: 2 x = 5 x {displaystyle 2^{x}=5x}

1 = 5 x ⋅ 2 − x = 5 x e − x ln ⁡ 2 {displaystyle 1=5xcdot 2^{-x}=5x,e^{-xln 2}}

Обозначим y = − x ln ⁡ 2 {displaystyle y=-xln 2} , тогда y e y = − ln ⁡ 2 5 {displaystyle y,e^{y}={-ln 2 over 5}} , отсюда y = W ( − ln ⁡ 2 5 ) {displaystyle y=Wleft({-ln 2 over 5} ight)} и окончательно x = − 1 ln ⁡ 2 W ( − ln ⁡ 2 5 ) {displaystyle x=-{1 over ln 2}Wleft({-ln 2 over 5} ight)} .

Обобщенные применения W-Функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

e − c x = a o ( x − r )     ( 1 ) {displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~quad qquad qquad qquad qquad (1)}

где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является x = r + 1 c W ( c e − c r a o ) {displaystyle x=r+{frac {1}{c}}W({frac {c,e^{-cr}}{a_{o}}})} . Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:

  • Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity» была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:
e − c x = a o ( x − r 1 ) ( x − r 2 )     ( 2 ) {displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~qquad qquad (2)} и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
  • Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
e − c x = a o ∏ i = 1 ∞ ( x − r i ) ∏ i = 1 ∞ ( x − s i ) ( 3 ) {displaystyle e^{-cx}=a_{o}{frac {displaystyle prod _{i=1}^{infty }(x-r_{i})}{displaystyle prod _{i=1}^{infty }(x-s_{i})}}qquad qquad qquad (3)} где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики.

Вычисление

W {displaystyle W} -функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения:

w j + 1 = w j − w j e w j − z e w j ( w j + 1 ) − ( w j + 2 ) ( w j e w j − z ) 2 w j + 2 {displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}

Пример программы на языке Python:

import math def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 for i in range(100): wTimesExpW = w * math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w) w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2)) if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW): break if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW): raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x) return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта

W ( x ) ≈ { 0,665 ⋅ ( 1 + 0,019 5 ln ⁡ ( x + 1 ) ) ln ⁡ ( x + 1 ) + 0 , 04   :   0 < x ≤ 500 ln ⁡ ( x − 4 ) − ( 1 − 1 ln ⁡ x ) ln ⁡ ln ⁡ x   :   x > 500 {displaystyle W(x)approx left{{egin{matrix}0{,}665cdot (1+0{,}0195ln(x+1))ln(x+1)+0{,}04& : &0<xleq 500ln(x-4)-(1-{1 over ln x})ln ln x& : &x>500end{matrix}} ight.}