Пифагоров строй

Пифагоров строй — музыкальный строй, теорию которого связывают с пифагорейской школой гармоники. Со времён поздней Античности видные теоретики музыки (Никомах, Ямвлих, Боэций и другие) приписывали его непосредственно Пифагору.

Абстрактно-математическое представление о пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

В некоторых научных статьях именуется также «пифагорейским строем».

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например так (цепь из 6 квинт от звука фа):

F — C — G — D — A — E — H

или в виде диатонической гаммы:

В западной музыке пифагорову строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы, опираясь на пифагоров строй, хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагоров является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3). У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорова строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагоров строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).

Таблица интервалов пифагорова строя

В следующей таблице показаны интервалы пифагорова строя, не превосходящие октаву и получаемые не более чем 18 квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11 квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.

Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.

В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9 квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное

( 3 2 ) − 9 × ( 2 1 ) 6 = 2 15 ⋅ 3 − 9 = 32768 19683 . {displaystyle left({frac {3}{2}} ight)^{-9} imes left({frac {2}{1}} ight)^{6}=2^{15}cdot 3^{-9}={frac {32768}{19683}}.}

При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:

O = − ⌊ Q × ( log 2 ⁡ 3 − 1 ) ⌋ , {displaystyle mathrm {O} =-lfloor mathrm {Q} imes (log _{2}{3}-1) floor ,}

где ⌊ x ⌋ {displaystyle lfloor x floor } — целая часть числа x {displaystyle x} .

Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях

0 ⩽ T ⩽ 6 , 0 ⩽ L ⩽ 1 , − 2 ⩽ K ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant Tleqslant 6,qquad 0leqslant Lleqslant 1,qquad -2leqslant Kleqslant 1} .

Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: L = 0 {displaystyle L=0} и K = 0 {displaystyle K=0} , либо L = 1 {displaystyle L=1} и K = 0 {displaystyle K=0} , либо L = 0 {displaystyle L=0} и K = − 1 {displaystyle K={-1}} (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на пифагорову комму). Для хроматических интервалов сверх того могут иметь место соотношения L = 1 {displaystyle L=1} и K = 1 {displaystyle K=1} , либо L = 1 {displaystyle L=1} и K = − 1 {displaystyle K={-1}} , а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также L = 0 {displaystyle L=0} и K = 1 {displaystyle K=1} , либо L = 0 {displaystyle L=0} и K = − 2 {displaystyle K={-2}} .

См.также

• Звуковая система
• Квинтовый круг
• Волчья квинта