Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Существенное многообразие

05.03.2021

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.

Определение

n {displaystyle n} -мерное замкнутое многообразие M {displaystyle M} называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство K {displaystyle K} и непрерывное отображение M → K {displaystyle M o K} которое переводит фундаментальный калсс M {displaystyle M} в ненулевой класс гомологий K {displaystyle K} .

Иначе говоря, фундаментальный класс [ M ] {displaystyle [M]} определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы π 1 ( M ) {displaystyle pi _{1}(M)} . Точнее, если N {displaystyle N} есть K ( π 1 ( M ) , 1 ) {displaystyle K(pi _{1}(M),1)} птостранство, то отображение M → N {displaystyle M o N} индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

H n ( M ) → H n ( N ) . {displaystyle H_{n}(M) o H_{n}(N).}

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном случае.

Примеры

  • Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S2.
  • Вещественное проективное пространство R P n {displaystyle mathbb {RP} ^{n}} является существенным, поскольку включение R P n → R P ∞ {displaystyle mathbb {RP} ^{n} o mathbb {RP} ^{infty }}
является инъективным в гомологиях и R P ∞ = K ( Z 2 , 1 ) {displaystyle mathbb {RP} ^{infty }=K(mathbb {Z} _{2},1)} — это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.
  • Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
    • В частности, все компактные гиперболические многообразия являются существенными.
  • Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

  • Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
  • Прямое произведение существенных многообразий существенно.
  • Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
  • Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
    • Это свойство является первопричиной введения этого определения.