Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Пи (число)

04.03.2021

π {displaystyle {oldsymbol {pi }}} (произносится «пи») — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Обозначается буквой греческого алфавита «π».

Свойства

Трансцендентность и иррациональность

Число π {displaystyle pi } иррационально, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m n {displaystyle {frac {m}{n}}} , где m {displaystyle m} — целое число, а n {displaystyle n} — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π {displaystyle pi } была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π {displaystyle pi } и π 2 {displaystyle pi ^{2}} . Несколько доказательств подробно приведено в статье Доказательства иррациональности π.

π {displaystyle pi } — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π {displaystyle pi } была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π {displaystyle pi } , то доказательство трансцендентности π {displaystyle pi } положило конец попыткам построить квадратуру круга, длившимся более 2,5 тысяч лет.

В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа e π {displaystyle e^{pi }} . В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n {displaystyle n} числа π {displaystyle pi } и e π n {displaystyle e^{pi {sqrt {n}}}} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел π + e π , π e π {displaystyle pi +e^{pi },pi e^{pi }} и e π n {displaystyle e^{pi {sqrt {n}}}} .

π {displaystyle pi } является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1 / π {displaystyle 1/pi } к кольцу периодов.

Соотношения

Известно много формул для вычисления числа π {displaystyle pi } :

  • Формула Виета для приближения числа π:
2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ … {displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdot ldots } Это первое известное явное представление π {displaystyle pi } с бесконечным числом операций. Доказать его можно следующим образом. Применив тождество sin ⁡ 2 φ = 2 sin ⁡ φ cos ⁡ φ {displaystyle sin 2varphi =2sin varphi cos varphi } рекурсивно и перейдя к пределу, получим φ cos ⁡ φ 2 cos ⁡ φ 4 ⋯ = sin ⁡ φ . {displaystyle varphi cos {dfrac {varphi }{2}}cos {frac {varphi }{4}}cdots =sin varphi .} Остаётся подставить φ = π 2 {displaystyle varphi ={frac {pi }{2}}} и воспользоваться формулой косинуса двойного угла: cos ⁡ 2 φ = cos 2 ⁡ φ − sin 2 ⁡ φ . {displaystyle cos 2varphi =cos ^{2}varphi -sin ^{2}varphi .}
  • Формула Валлиса:
2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = π 2 {displaystyle {frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots ={frac {pi }{2}}}
  • Ряд Лейбница:
1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 {displaystyle {frac {1}{1}}-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{7}}+{frac {1}{9}}-cdots ={frac {pi }{4}}}
  • Другие ряды:
1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + ⋯ = π 2 6 {displaystyle {frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{4^{2}}}+{frac {1}{5^{2}}}+dots ={frac {pi ^{2}}{6}}} (ряд обратных квадратов) 1 1 2 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + 1 5 2 − ⋯ = π 2 12 {displaystyle {frac {1}{1^{2}}}-{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}-{frac {1}{4^{2}}}+{frac {1}{5^{2}}}-dots ={pi ^{2} over 12}} 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + ⋯ = π 4 90 {displaystyle {frac {1}{1^{4}}}+{frac {1}{2^{4}}}+{frac {1}{3^{4}}}+{frac {1}{4^{4}}}+{frac {1}{5^{4}}}+dots ={frac {pi ^{4}}{90}}} 1 1 6 + 1 2 6 + 1 3 6 + 1 4 6 + 1 5 6 + ⋯ = π 6 945 {displaystyle {frac {1}{1^{6}}}+{frac {1}{2^{6}}}+{frac {1}{3^{6}}}+{frac {1}{4^{6}}}+{frac {1}{5^{6}}}+dots ={frac {pi ^{6}}{945}}} π = 2 3 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 3 k ( 2 k + 1 ) {displaystyle pi =2{sqrt {3}}sum limits _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{,3^{k},(2k+1)}}} π = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 4 k ( 2 4 k + 1 + 2 4 k + 2 + 1 4 k + 3 ) {displaystyle pi =;;sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}left({frac {2}{4k+1}}+{frac {2}{4k+2}}+{frac {1}{4k+3}} ight)} Следующие ряды позволяют вычислять знаки в шестнадцатеричной записи числа пи без вычисления предыдущих знаков: π = 1 2 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 8 k + 2 + 4 8 k + 3 + 4 8 k + 4 − 1 8 k + 7 ) = = 1 4 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 8 k + 1 + 8 8 k + 2 + 4 8 k + 3 − 2 8 k + 5 − 2 8 k + 6 − 1 8 k + 7 ) {displaystyle {egin{aligned}pi &={frac {1}{2}}sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {8}{8k+2}}+{frac {4}{8k+3}}+{frac {4}{8k+4}}-{frac {1}{8k+7}} ight)=&={frac {1}{4}}sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {8}{8k+1}}+{frac {8}{8k+2}}+{frac {4}{8k+3}}-{frac {2}{8k+5}}-{frac {2}{8k+6}}-{frac {1}{8k+7}} ight)end{aligned}}}
  • Кратные ряды:
π = 8 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ 1 ( 4 m − 2 ) 2 k = 4 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ m 2 − k 2 ( m 2 + k 2 ) 2 = 360 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 k 1 m ( k + 1 ) 3 4 {displaystyle pi =8sum limits _{k=1}^{infty }sum limits _{m=1}^{infty }{frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4sum limits _{k=1}^{infty }sum limits _{m=1}^{infty }{frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={sqrt[{4,,}]{360sum limits _{k=1}^{infty }sum limits _{m=1}^{k}{frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}
  • Пределы:
π = lim m → ∞ ( m ! ) 4 2 4 m [ ( 2 m ) ! ] 2 m {displaystyle pi =lim limits _{m ightarrow infty }{frac {(m!)^{4},{2}^{4m}}{left[(2m)! ight]^{2},m}}} π = 6 lim n → ∞ ∏ k = 1 p k ∈ P n ( 1 − 1 p k 2 ) → {displaystyle pi ={sqrt {frac {6}{lim limits _{n o infty }prod limits _{k=1 atop p_{k}in mathbf {P} }^{n},left(1-{frac {1}{p_{k}^{2}}} ight)}}}quad o } здесь p k {displaystyle p_{k}} — простые числа π = lim n → ∞ 2 n 2 − 2 + 2 + 2 + ⋯ + 2 , {displaystyle pi =lim _{n o infty }2^{n}{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+dots +{sqrt {2}}}}}}}}}},} где n {displaystyle n} равно числу корней в выражении.
  • Тождество Эйлера:
e i π + 1 = 0 {displaystyle e^{ipi }+1=0;}
  • Другие связи между константами:
π e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 2 k − 1 ) 2 k − 1 ( k k + 1 ) 2 k {displaystyle {frac {pi }{e}}=2prod limits _{k=1}^{infty }left({frac {2k+1}{2k-1}} ight)^{2k-1}left({frac {k}{k+1}} ight)^{2k}} π ⋅ e = 6 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 3 2 k + 1 ) 2 k + 1 ( k k + 1 ) 2 k {displaystyle pi cdot e=6prod limits _{k=1}^{infty }left({frac {2k+3}{2k+1}} ight)^{2k+1}left({frac {k}{k+1}} ight)^{2k}}
  • Т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса
∫ − ∞ + ∞   e − x 2 d x = π {displaystyle int limits _{-infty }^{+infty } e^{-x^{2}}{dx}={sqrt {pi }}} ∫ 0 ∞ B r ( x ) e B r 4 ( x ) d x = π , {displaystyle int limits _{0}^{infty }{frac {Br(x)}{displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={sqrt {pi }},} где B r ( x ) {displaystyle Br(x)} — корень Бринга.
  • Интегральный синус:
∫ − ∞ + ∞ sin ⁡ x x d x = π {displaystyle int limits _{-infty }^{+infty }{{frac {sin x}{x}}dx}=pi }
  • Выражение через дилогарифм:
π = 6 ln 2 ⁡ 2 + 12   Li 2 ⁡ ( 1 2 ) {displaystyle pi ={sqrt {6ln ^{2}2+12 operatorname {Li} _{2}left({frac {1}{2}} ight)}}}
  • Через несобственный интеграл:
∫ 0 + ∞ d x ( x + 1 ) x = π {displaystyle int limits _{0}^{+infty }{frac {dx}{(x+1){sqrt {x}}}}=pi } ; ∫ − ∞ + ∞ d x ( x 2 + 1 ) = π {displaystyle int limits _{-infty }^{+infty }{frac {dx}{(x^{2}+1)}}=pi }

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π {displaystyle pi } воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Исследование числа π {displaystyle pi } и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Сначала π {displaystyle pi } изучалось с позиции геометрии, затем развитие математического анализа в XVII веке показало универсальность этого числа.

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э.

В Древнем Вавилоне принимали π {displaystyle pi } равным трём. При этом оно определялось через формулу: площадь круга равна квадрату длины окружности, делённому на 12. Самые ранние из известных более точных приближений датируются примерно 1900-ми годами до н. э.: это 25/8 = 3,125 (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства) и 256/81 ≈ 3,16 (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт в качестве приближения π {displaystyle pi } дробь 339/108 ≈ 3,139.

Китайский философ и учёный Чжан Хэн, во II веке, предложил для числа π {displaystyle pi } два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и 10 {displaystyle {sqrt {10}}} ≈ 3,1622. В священных книгах джайнизма, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда и в Индии π {displaystyle pi } принимали равным 10 {displaystyle {sqrt {10}}}

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π {displaystyle pi } . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника — как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3 10 71 < π < 3 1 7 {displaystyle 3{frac {10}{71}}<pi <3{frac {1}{7}}} и предложил для приближённого вычисления π {displaystyle pi } верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для π {displaystyle pi } приближение 377/120, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для π {displaystyle pi } , приводит своё приближение — 864/275. Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377/120 оказалось верхней границей для π {displaystyle pi } .

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением 10 {displaystyle {sqrt {10}}} .

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм для вычисления π {displaystyle pi } с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π {displaystyle pi } по следующему принципу:

π ≈ A 3072 = 3 ⋅ 2 8 ⋅ 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 ≈ 3 , 14159. {displaystyle pi approx A_{3072}={3cdot 2^{8}cdot {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}approx 3,14159.}

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления π {displaystyle pi } и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π {displaystyle pi } ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < π {displaystyle pi } < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа π {displaystyle pi } в течение последующих 900 лет.

Классический период

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π {displaystyle pi } . Дальнейшие крупные достижения в изучении π {displaystyle pi } связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π {displaystyle pi } с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.

Ряд Мадхавы — Лейбница

В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:

π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + ⋯ {displaystyle {pi }={frac {4}{1}}-{frac {4}{3}}+{frac {4}{5}}-{frac {4}{7}}+cdots }

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того, как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к π {displaystyle pi } очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

π = 12 ( 1 − 1 3 ⋅ 3 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ) {displaystyle pi ={sqrt {12}},left(1-{frac {1}{3cdot 3}}+{frac {1}{5cdot 3^{2}}}-{frac {1}{7cdot 3^{3}}}+cdots ight)}

Мадхава смог вычислить π {displaystyle pi } как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа π {displaystyle pi } , из которых 16 верные.

Лудольфово число

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа π {displaystyle pi } с 20 десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π {displaystyle pi } . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π {displaystyle pi } иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Лудольфово число — приближённое значение для числа π {displaystyle pi } с 32 верными десятичными знаками.

Формула Виета для приближения π

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа π:

2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ ⋯ {displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdot cdots } ,

найденная Франсуа Виетом в 1593 году.

Формула Валлиса

Другим известным результатом стала формула Валлиса:

π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ {displaystyle {frac {pi }{2}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots } ,

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

Аналогичные произведения:

π = 3 ⋅ 3 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 1 3 ) 2 {displaystyle pi =3cdot {frac {sqrt {3}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {1}{3}} ight)^{2}}}}

π = 3 2 ⋅ 3 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 2 3 ) 2 {displaystyle pi ={frac {3}{2}}cdot {frac {sqrt {3}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {2}{3}} ight)^{2}}}}

π = 4 ⋅ 2 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 1 4 ) 2 {displaystyle pi =4cdot {frac {sqrt {2}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {1}{4}} ight)^{2}}}}

π = 4 3 ⋅ 2 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 3 4 ) 2 {displaystyle pi ={frac {4}{3}}cdot {frac {sqrt {2}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {3}{4}} ight)^{2}}}}

π = 6 ⋅ 1 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 1 6 ) 2 {displaystyle pi =6cdot {frac {1}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {1}{6}} ight)^{2}}}}

π = 6 5 ⋅ 1 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − ( 5 6 ) 2 {displaystyle pi ={frac {6}{5}}cdot {frac {1}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-left({frac {5}{6}} ight)^{2}}}}

π = 4 ⋅ ∏ k = 1 ∞ k 2 + k k 2 + k + 1 4 {displaystyle pi =4cdot prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{frac {1}{4}}}}}

π = 9 2 ⋅ 3 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 + k k 2 + k + 2 9 {displaystyle pi ={frac {9}{2}}cdot {frac {sqrt {3}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{frac {2}{9}}}}}

π = 16 3 ⋅ 2 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 + k k 2 + k + 3 16 {displaystyle pi ={frac {16}{3}}cdot {frac {sqrt {2}}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{frac {3}{16}}}}}

π = 36 5 ⋅ 1 2 ∏ k = 1 ∞ k 2 + k k 2 + k + 5 36 {displaystyle pi ={frac {36}{5}}cdot {frac {1}{2}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{frac {5}{36}}}}}

Произведение, доказывающее родственную связь с числом Эйлера e

π = 2 3 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) 1 2 − k ( 2 k + 3 ) k + 1 2 2 k + 1 ( k k + 1 ) 2 k {displaystyle pi =2{sqrt {3}}prod limits _{k=1}^{infty }{frac {left(2k-1 ight)^{{frac {1}{2}}-k}left(2k+3 ight)^{k+{frac {1}{2}}}}{2k+1}}left({frac {k}{k+1}} ight)^{2k}}

Методы, основанные на тождествах

В Новое время для вычисления π {displaystyle pi } используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Формулы Мэчина

Первый эффективный и современный способ нахождения числа π (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году Исаак Ньютон во втором письме к Ольденбургу, разлагая в ряд a r c t g 1 2 {displaystyle mathrm {arctg} {frac {1}{2}}} . На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин

π 4 = 4 a r c t g 1 5 − a r c t g 1 239 {displaystyle {frac {pi }{4}}=4,mathrm {arctg} {frac {1}{5}}-mathrm {arctg} {frac {1}{239}}}

Разложив арктангенс в ряд Тейлора

a r c t g   x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ {displaystyle mathrm {arctg} x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-{frac {x^{7}}{7}}+cdots } ,

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π {displaystyle pi } с большой точностью.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина, использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления π {displaystyle pi } в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счётчиком Иоганном Дазе, который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр π {displaystyle pi } . Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Уильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр. Однако он допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π {displaystyle pi } .

Пи — трансцендентное число

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа π {displaystyle pi } , чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π {displaystyle pi } в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2 {displaystyle pi ^{2}} . В 1735 году была установлена связь между простыми числами и π {displaystyle pi } , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения

1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {displaystyle {frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{4^{2}}}+cdots } ,

которое оказалось равно π 2 6 {displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}} . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что π {displaystyle pi } может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

В 1945 году Картрайт упростила элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа π (Пи (число)).

Символ « π {displaystyle pi } »

Считается, что книга Уильяма Джонса «Обозрение достижений математики» (Synopsis Palmoriorum Mathesios, 1706 год) первая ввела в использование греческую букву π {displaystyle pi } для обозначения этой константы, но эта запись стала общепринятой после того, как Леонард Эйлер принял её (или пришёл к ней независимо) в 1737 году. Эйлер писал: «Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к ( 16 5 − 4 239 ) − 1 3 ⋅ ( 16 5 3 − 4 239 3 ) + ⋯ = 3,141 59 ⋯ = π {displaystyle left({frac {16}{5}}-{frac {4}{239}} ight)-{frac {1}{3}}cdot left({frac {16}{5^{3}}}-{frac {4}{239^{3}}} ight)+cdots =3{,}14159cdots =pi } ».

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр π {displaystyle pi } , которое заняло 70 часов. В 1961 году Дэниел Шенкс на IBM 7090 рассчитал 100000 знаков, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря новым алгоритмам.

Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении π {displaystyle pi } последовательности 0123456789 {displaystyle 0123456789} — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для π {displaystyle pi } , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k {displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {2{sqrt {2}}}{9801}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} .

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

1 π = 1 426880 10005 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k {displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {1}{426880{sqrt {10005}}}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}} ,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении π {displaystyle pi } в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году была получена 1 011 196 691 цифра десятичного разложения.

Эта формула используется в программах, вычисляющих π {displaystyle pi } на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов.

Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. Алгоритм состоит из установки начальных значений

a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 4 p 0 = 1 {displaystyle a_{0}=1quad quad quad b_{0}={frac {1}{sqrt {2}}}quad quad quad t_{0}={frac {1}{4}}quad quad quad p_{0}=1}

и итераций:

a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 = a n b n {displaystyle a_{n+1}={frac {a_{n}+b_{n}}{2}}quad quad quad b_{n+1}={sqrt {a_{n}b_{n}}}} t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 p n + 1 = 2 p n {displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}quad quad quad p_{n+1}=2p_{n}} ,

пока an и bn не станут достаточно близки. Тогда оценка π {displaystyle pi } даётся формулой

π ≈ ( a n + b n ) 2 4 t n . {displaystyle pi approx {frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном Питером Боруэйном. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления π {displaystyle pi } вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков.

Хотя большинство предыдущих рекордов Канады было установлено при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти.

Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована. Эта формула,

π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) , {displaystyle pi =sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {4}{8k+1}}-{frac {2}{8k+4}}-{frac {1}{8k+5}}-{frac {1}{8k+6}} ight),}

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа π {displaystyle pi } без вычисления предыдущих. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа π {displaystyle pi } , который оказался нулём.

В 2006 году Саймон Плафф, используя алгоритм PSLQ, нашёл ряд красивых формул. Пусть q = eπ, тогда

π 24 = ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 3 q n − 1 − 4 q 2 n − 1 + 1 q 4 n − 1 ) {displaystyle {frac {pi }{24}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}left({frac {3}{q^{n}-1}}-{frac {4}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}} ight)} π 3 180 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( 4 q n − 1 − 5 q 2 n − 1 + 1 q 4 n − 1 ) {displaystyle {frac {pi ^{3}}{180}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{3}}}left({frac {4}{q^{n}-1}}-{frac {5}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}} ight)}

и другие вида

π k = ∑ n = 1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 ) {displaystyle pi ^{k}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{k}}}left({frac {a}{q^{n}-1}}+{frac {b}{q^{2n}-1}}+{frac {c}{q^{4n}-1}} ight)} ,

где q = eπ, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

p π k = ∑ n = 1 ∞ 1 n k ( 2 k − 1 q n − 1 − 2 k − 1 + 1 q 2 n − 1 + 1 q 4 n − 1 ) {displaystyle ppi ^{k}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{k}}}left({frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}} ight)}

для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

28 декабря 2013 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью до 12,1 триллиона цифр после запятой.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π {displaystyle pi } после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут. До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число π {displaystyle pi } до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось. В России рекорд по запоминанию принадлежит Денису Бабушкину (13 202 знака).

14 марта 2019 года, когда отмечался неофициальный праздник числа пи, компания Google представила данное число с 31,4 триллиона знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао.

Программа «супер Пи», фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа Пи, может быть использована для тестирования производительности компьютеров.

Рациональные приближения

  • 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} — Архимед (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;
  • 377 120 {displaystyle {frac {377}{120}}} — Клавдий Птолемей (II век н. э.) — древнегреческий астроном и географ, и Ариабхата (V век н. э.) — индийский астроном и математик;
  • 355 113 {displaystyle {frac {355}{113}}} — Цзу Чунчжи (V век н. э.) — китайский астроном и математик.
Сравнение точности приближений

Открытые проблемы

  • Неизвестна точная мера иррациональности для чисел π {displaystyle pi } и π 2 {displaystyle pi ^{2}} (но известно, что для π {displaystyle pi } она не превышает 7,6063).
  • Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: π + e , π − e , π ⋅ e , π e , π e , π 2 , ln ⁡ π , π π , e π 2 . {displaystyle pi +e,pi -e,pi cdot e,{frac {pi }{e}},pi ^{e},pi ^{sqrt {2}},ln pi ,pi ^{pi },e^{pi ^{2}}.} Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа π {displaystyle pi } и e {displaystyle e} алгебраически независимыми.
  • Неизвестно, является ли n π {displaystyle {^{n}pi }} целым числом при каком-либо положительном целом n {displaystyle n} (см. тетрация).
  • До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа π {displaystyle pi } ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π {displaystyle pi } бесконечное количество раз. Компьютерная проверка 200 млрд десятичных знаков π {displaystyle pi } показала, что все 10 цифр встречаются в этой записи практически одинаково часто:

Однако строгое доказательство отсутствует.

  • Неизвестно, принадлежит ли 1 π {displaystyle {frac {1}{pi }}} к кольцу периодов.

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к 2 π {displaystyle {frac {2}{pi }}} при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.

Мнемонические правила

Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа π:

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии. Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегородской гимназии Шенроком:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать, число ужъ знаетъ.

В культуре

  • В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен Билль о числе пи, законодательно устанавливающий его значение равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона;
  • Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи;
  • Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3,14, что соответствует приближённому значению числа π {displaystyle pi } . Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159;
  • Ещё одной датой, связанной с числом π {displaystyle pi } , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π {displaystyle pi } .

Цитата

Приведем высказывания французского астронома позапрошлого века Франсуа Араго. В своей «Общепонятной астрономии» он пишет: "Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами Пи (числа Пи), вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км). Если для Пи взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре повлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.

«Мы взяли 18 цифр Пи. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для Пи всеми известными его цифрами. Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного Пи, если бы оно существовало.

Итак, даже для астрономии‚ — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям‚ — не требуется вполне точного решения…»