Квадрат

Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника. Также является двумерным гиперкубом.

Свойства квадрата

Длины всех сторон равны.

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Свойства

• Пусть t {displaystyle t} — сторона квадрата, R {displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности. Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей, и
  • радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата: r = t 2 {displaystyle r={frac {t}{2}}} ,
  • радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата: R = 2 2 t {displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}}t} ,
• Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
  • одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);
  • четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.
• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь квадрата и длина его сторон

Периметр квадрата

• • периметр квадрата равен: P = 4 t = 4 2 R = 8 r {displaystyle P=4t=4{sqrt {2}}R=8r} ,

Площадь квадрата

Здесь приведены формулы, свойственные именно квадрату. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• • площадь S {displaystyle S} квадрата равна S = t 2 = 2 R 2 = 4 r 2 {displaystyle S=t^{2}=2R^{2}=4r^{2}} .

Уравнение квадрата

Уравнение квадрата с центром в точке { x 0 , y 0 } {displaystyle {x_{0},y_{0}}} и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

| x − x 0 | + | y − y 0 | = a , {displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}

где a {displaystyle a} — половина длины диагонали квадрата.

Сторона квадрата тогда равна a 2 , {displaystyle a{sqrt {2}},} его диагональ равна 2 a , {displaystyle 2a,} а площадь квадрата равна 2 a 2 . {displaystyle 2a^{2}.}

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (более широко) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами.

Многообразие квадратов

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделен на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.