Лемма Либермана

Лемма Либермана — основной инструмент изучения внутренней метрики выпуклой поверхности.

Формулировка

Пусть K {displaystyle K} есть выпуклое тело в евклидовом пространстве, и p ∈ K {displaystyle pin K} . Предположим γ {displaystyle gamma } есть кратчайшая на поверхности K {displaystyle K} . Рассмотрим конус L {displaystyle L} с вершиной в p над γ {displaystyle gamma } , то есть множество всех точек типа p + λ ⋅ ( γ ( t ) − p ) {displaystyle p+lambda cdot (gamma (t)-p)} , λ ≥ 0 {displaystyle lambda geq 0} . Пусть σ : L → R 2 {displaystyle sigma :L o mathbb {R} ^{2}} есть изометрическое вложение тогда σ ∘ γ {displaystyle sigma circ gamma } образует выпуклую кривую на плоскости.