Кристаллическая решётка

Кристаллическая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. Решёткой является совокупность точек, которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с элементами симметрии.

Общая характеристика

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем. По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний. Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии, а с учётом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп.

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве. В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная (F), объёмноцентрированная (I), базоцентрированная (A, B или C), примитивная (P) и ромбоэдрическая (R) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора (a, b, c, ½(a+b+c)), в гранецентрированную — шесть (a, b, c, ½(a+b), ½(b+c), ½(a+c)). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора (a, b, c, ½(b+c)), B — вектора (a, b, c, ½(a+c)), а C — (a, b, c, ½(a+b)), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора (a, b, c, 1/3(a+b+c), —1/3(a+b+c)).

Классификация решёток по симметрии

Сингонии:

• Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
  • Триклинная: a ≠ b ≠ c {displaystyle a eq b eq c} , α ≠ β ≠ γ ≠ 90 ∘ {displaystyle alpha eq eta eq gamma eq 90^{circ }}
  • Моноклинная: a ≠ b ≠ c {displaystyle a eq b eq c} , α = γ = 90 ∘ , β ≠ 90 ∘ {displaystyle alpha =gamma =90^{circ },eta eq 90^{circ }}
  • Ромбическая: a ≠ b ≠ c {displaystyle a eq b eq c} , α = β = γ = 90 ∘ {displaystyle alpha =eta =gamma =90^{circ }}

• Средняя категория (две трансляции из трёх равны между собой)
  • Тетрагональная: a = b ≠ c {displaystyle a=b eq c} , α = β = γ = 90 ∘ {displaystyle alpha =eta =gamma =90^{circ }}
  • Гексагональная: a = b ≠ c {displaystyle a=b eq c} , α = β = 90 ∘ , γ = 120 ∘ {displaystyle alpha =eta =90^{circ },gamma =120^{circ }}
  • Тригональная: a = b = c {displaystyle a=b=c} , α = β = γ < 120 ∘ ≠ 90 ∘ {displaystyle alpha =eta =gamma <120^{circ } eq 90^{circ }}

• Высшая категория (все трансляции равны между собой)
  • Кубическая: a = b = c {displaystyle a=b=c} , α = β = γ = 90 ∘ {displaystyle alpha =eta =gamma =90^{circ }}

Объём ячейки

Объём элементарной ячейки в общем случае вычисляется по формуле:

V = a b c 1 − cos 2 ⁡ α − cos 2 ⁡ β − cos 2 ⁡ γ + 2 cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ {displaystyle {mathsf {V=abc{sqrt {1-cos ^{2}alpha -cos ^{2}eta -cos ^{2}gamma +2cos alpha cos eta cos gamma }}}}}