Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021


27.01.2021





Яндекс.Метрика





Интеграл Джексона

24.02.2021

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

Пусть f(x) — функция от вещественной переменной x. Интеграл Джексона для f определяется как следующий ряд:

∫ f ( x ) d q x = ( 1 − q ) x ∑ k = 0 ∞ q k f ( q k x ) . {displaystyle int f(x),{ m {d}}_{q}x=(1-q),xsum _{k=0}^{infty }q^{k}f(q^{k}x).}

В случае, если g(x) является другой функцией и Dqg означает её q-производную, формально её можно записать:

∫ f ( x ) D q g d q x = ( 1 − q ) x ∑ k = 0 ∞ q k f ( q k x ) D q g ( q k x ) = ( 1 − q ) x ∑ k = 0 ∞ q k f ( q k x ) g ( q k x ) − g ( q k + 1 x ) ( 1 − q ) q k x , {displaystyle int f(x),D_{q}g,{ m {d}}_{q}x=(1-q),xsum _{k=0}^{infty }q^{k}f(q^{k}x),D_{q}g(q^{k}x)=(1-q),xsum _{k=0}^{infty }q^{k}f(q^{k}x){ frac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},} или: ∫ f ( x ) d q g ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f ( q k x ) ⋅ ( g ( q k x ) − g ( q k + 1 x ) ) , {displaystyle int f(x),{ m {d}}_{q}g(x)=sum _{k=0}^{infty }f(q^{k}x)cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}

В результате получается q-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида).

Теорема

Если предположить, что 0 < q < 1 {displaystyle 0<q<1} и если значение | f ( x ) x α | {displaystyle |f(x)x^{alpha }|} ограничено на интервале [ 0 , A ) {displaystyle [0,A)} для некоторого 0 ⩽ α < 1 , {displaystyle 0leqslant alpha <1,} то интеграл Джексона сходится к функции F ( x ) {displaystyle F(x)} на [ 0 , A ) {displaystyle [0,A)} , которая является q-первообразной функции f ( x ) {displaystyle f(x)} . Более того, F ( x ) {displaystyle F(x)} непрерывна на x = 0 {displaystyle x=0} с F ( 0 ) = 0 {displaystyle F(0)=0} и является первообразной функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в этом классе функций.